В равнобедренном треугольнике с основанием 12см проведена высота 9см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Для решения этой задачи нам понадобится формула для радиуса вписанной окружности в равнобедренном треугольнике:

\[ r = \frac{{a}}{{2}} \cdot \tan\left(\frac{{\alpha}}{{2}}\right) \]

где \( a \) - длина основания треугольника, \( \alpha \) - угол при основании треугольника.

В равнобедренном треугольнике угол при основании равен \( 180^\circ - \frac{{360^\circ - \alpha}}{2} = \frac{{180^\circ - \alpha}}{2} \).

Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половиной основания, высотой и радиусом вписанной окружности, получаем:

\[ r^2 + \left(\frac{{a}}{{2}}\right)^2 = h^2 \]

Подставим известные значения:

\[ r^2 + 6^2 = 9^2 \]

\[ r^2 + 36 = 81 \]

\[ r^2 = 45 \]

\[ r = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \]

Таким образом, радиус вписанной окружности равен \( 3\sqrt{5} \) см.