Прямоугольный треугольник с гипотенузой

8 и острым углом

30∘вращают вокруг гипотенузы. Найди объём V получившегося тела.

Запиши ответ значение

V

π

Для нахождения объема получившегося тела, которое получается вращением прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, используем формулу объема вращения:

V = π * интеграл от a до b (радиус(x))^2 dx,

где радиус(x) - расстояние от точки (x, y) на гипотенузе до оси вращения.

В данном случае, у нас прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 и острым углом 30°. Известно, что в этом треугольнике катеты равны 4 и 4√3 (из свойств треугольника 30-60-90).

Таким образом, радиус(x) = 4 - x√3, где x изменяется от 0 до 4.

Теперь подставим значение радиуса в формулу объема вращения:

V = π * интеграл от 0 до 4 (4 - x√3)^2 dx.

Вычислим этот интеграл:

V = π * интеграл от 0 до 4 (16 - 8x√3 + 3x^2) dx
= π * [16x - 4x^2√3 + x^3] от 0 до 4
= π * [64 - 64√3 + 64]
= π * 128(1 - √3).

Таким образом, объем V получившегося тела равен 128π(1 - √3).