В параллелограмме ABCD на стороне ВС отметили сере- дину М и на стороне CD точку К так, что СК - 4, KD = 10. Найдите длину отрезка АК, если известно, что угол АМК прямой.

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться свойствами параллелограмма.

Так как угол АМК прямой, то треугольник АМК - прямоугольный. Также, так как АВСD - параллелограмм, то стороны АВ и СD параллельны и равны по длине, аналогично стороны BC и AD параллельны и равны по длине.

Так как М - середина стороны BC, то AM = MC. Также, так как К - середина стороны CD, то CK = KD.

Из условия задачи CK = 4 и KD = 10. Так как CK = KD, то CKD - равнобедренный треугольник. Значит, угол КCD = угол KDC.

Теперь рассмотрим треугольник КDC. Так как угол KDC = угол КCD, то он также равнобедренный и DC = KC = 4.

Так как BC = DC, то треугольник ВСК - равнобедренный, и угол ВКС = угол CKВ.

Теперь рассмотрим треугольник АКМ. Так как угол АМК = 90 градусов, то он прямоугольный. Так как АМ = MC и угол КМС = угол МАК, то треугольник АМК подобен треугольнику КМС.

Из подобия треугольников мы можем записать пропорцию:

AK / KM = MK / SC,

где MK = 4 (половина стороны КС) и SC = 8 (половина стороны BC).

AK / 4 = 4 / 8,

AK = 4.

Таким образом, длина отрезка АК равна 4.