Через точку пересечения G медиан треугольника ABC проведена прямая l, пересекающая стороны AC и BC соответственно в точках P и Q. Доказать, что |AP|/|PC| + |BQ|/|QC| = 1

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой Шевы.

Пусть точка G - точка пересечения медиан треугольника ABC, а точки P и Q - точки пересечения прямой l с сторонами AC и BC соответственно.

Так как G - точка пересечения медиан треугольника ABC, то она делит каждую медиану в отношении 2:1. То есть AG/GC = 2:1, BG/GC = 2:1.

Применим теорему Шевы к треугольнику ABC и прямой l, проходящей через точку G:
AP/PC * CG/GB * BQ/QC = 1.

Подставим значения отношений AG/GC и BG/GC:
AP/PC * 1/2 * BQ/QC = 1,
AP/PC + BQ/QC = 2.

Таким образом, мы получили, что |AP|/|PC| + |BQ|/|QC| = 2.

Однако, нам нужно доказать, что |AP|/|PC| + |BQ|/|QC| = 1.

Для этого заметим, что точка G делит сторону AC в отношении 2:1, а сторону BC также в отношении 2:1. То есть AG/GC = 2/3, BG/GC = 2/3.

Теперь применим теорему Шевы к треугольнику ABC и прямой l:
AP/PC * CG/GB * BQ/QC = 1,
AP/PC * 3/2 * BQ/QC = 1,
AP/PC + BQ/QC = 2/3 + 2/3 = 1.

Таким образом, мы доказали, что |AP|/|PC| + |BQ|/|QC| = 1.