polina-a257

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о трех параллельных плоскостях. Пусть точки O, A, B, C, A1, B1, C1 лежат на окружности в таком порядке, что четырехугольник OABC и четырехугольник OA1B1C1 вписаны в эту окружность. Из условия задачи известно, что треугольники OAA1, OBB1 и OCC1 соответственно являются равнобедренными, так как они опираются на одну и ту же дугу окружности. Также известно, что углы OAA1 и OBB1 сонаправлены, так как они опираются на одну и ту же дугу окружности. Теперь рассмотрим плоскости, проходящие через прямые AA1, BB1 и CC1. По теореме о трех параллельных плоскостях, если две из трех плоскостей параллельны, то третья плоскость также параллельна этим двум

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой Шевы. Пусть точка G - точка пересечения медиан треугольника ABC, а точки P и Q - точки пересечения прямой l с сторонами AC и BC соответственно. Так как G - точка пересечения медиан треугольника ABC, то она делит каждую медиану в отношении 2:1. То есть AG/GC = 2:1, BG/GC = 2:1. Применим теорему Шевы к треугольнику ABC и прямой l, проходящей через точку G: AP/PC * CG/GB * BQ/QC = 1. Подставим значения отношений AG/GC и BG/GC: AP/PC * 1/2 * BQ/QC = 1, AP/PC + BQ/QC = 2. Таким образом, мы получили, что |AP|/|PC| + |BQ|/|QC| = 2. Однако, нам нужно доказать, что |AP|/|PC| + |BQ|/|QC| = 1. Для этого заметим, что точка G делит стор