В прямоугольном треугольнике с острым углом α катеты равны 2cos α и 3sin α. Найдите квадрат меньшего катета. Ответ выразите в виде несократимой обыкновенной дроби.

Для решения этой задачи воспользуемся тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

По условию, катеты равны 2cos α и 3sin α. Обозначим меньший катет через a, тогда a = 2cos α.

Так как у нас прямоугольный треугольник, то мы можем использовать тригонометрические соотношения sin^2 α + cos^2 α = 1.

Также, мы знаем, что sin α = a / гипотенуза и cos α = b / гипотенуза, где гипотенуза равна 3sin α.

Подставим эти выражения в уравнение sin^2 α + cos^2 α = 1:

(a / 3sin α)^2 + (b / 3sin α)^2 = 1

a^2 / (9sin^2 α) + b^2 / (9sin^2 α) = 1

a^2 + b^2 = 9sin^2 α

Так как a = 2cos α, то a^2 = 4cos^2 α.

Подставим это в уравнение:

4cos^2 α + b^2 = 9sin^2 α

4(1 - sin^2 α) + b^2 = 9sin^2 α

4 - 4sin^2 α + b^2 = 9sin^2 α

4 + b^2 = 13sin^2 α

b^2 = 13sin^2 α - 4

Так как b = 3sin α, то b^2 = 9sin^2 α.

Подставим это в уравнение:

9sin^2 α = 13sin^2 α - 4

4 = 4sin^2 α

sin^2 α = 1

sin α = 1

Так как sin α = 1, то α = π/2.

Таким образом, меньший катет равен a = 2cos(π/2) = 2 * 0 = 0.

Квадрат меньшего катета равен 0.