ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, причем ВС = 3а, CD = а, СС1 - 6а. Найдите тангенс угла между плоскостями ВС1D и АВС.

Для начала, обозначим длины сторон прямоугольного параллелепипеда следующим образом:

AB = a, BC = b, CD = c

Из условия задачи имеем:

BC = 3a, CD = a, CC1 = 6a

Теперь найдем длины сторон параллелограмма ABCD:

AC = √(AB^2 + BC^2) = √(a^2 + (3a)^2) = √(a^2 + 9a^2) = √10a^2 = a√10

BD = √(BC^2 + CD^2) = √((3a)^2 + a^2) = √(9a^2 + a^2) = √10a^2 = a√10

Теперь найдем тангенс угла между плоскостями ВС1D и АВС. Угол между плоскостями равен углу между их нормалями.

Вектор нормали к плоскости ВС1D: n1 = (0, 1, -1), так как С1С параллелен оси OY и направлен в сторону уменьшения координаты OY, а ВС1 направлен в сторону уменьшения координаты OZ.

Вектор нормали к плоскости АВС: n2 = (1, 1, 3), так как AB и BC направлены вдоль осей OX и OY, а плоскость АВС перпендикулярна этим векторам.

Теперь найдем скалярное произведение векторов n1 и n2:

n1 * n2 = 0*1 + 1*1 + (-1)*3 = 0 + 1 - 3 = -2

Тангенс угла между плоскостями ВС1D и АВС равен модулю скалярного произведения нормалей, деленному на произведение модулей нормалей:

tg(α) = |n1 * n2| / (|n1| * |n2|) = |-2| / (√2 * √11) = 2 / √22

Ответ: tg(α) = 2 / √22.