На доске были записаны три натуральных числа. Каждую секунду вместо трёх чисел, записанных на доске, выписывают их попарные суммы. Через какое наименьшее количество секунд наибольшее число на доске будет составлять не более 33,334% от суммы всех трёх чисел вне зависимости от того, какие числа были записаны на доске изначально?

Давайте рассмотрим ситуацию после первой секунды:
Пусть изначально на доске были числа a, b и c. После первой секунды на доске окажутся суммы a+b, b+c и a+c.

Мы хотим, чтобы наибольшее число на доске составляло не более 33,334% от суммы всех трех чисел. Это означает, что наибольшее число не должно превышать 1/3 от суммы всех трех чисел.

Пусть наибольшее число из трех сумм на доске равно a+b (без ограничения общности). Тогда мы хотим, чтобы a+b <= (a+b+c)/3.

Раскрыв скобки в неравенстве, получаем 2*(a+b) <= a+b+c, что эквивалентно a+b <= c.

Таким образом, чтобы наибольшее число на доске не превышало 1/3 от суммы всех трех чисел, необходимо, чтобы наибольшее число на доске было меньше или равно сумме двух оставшихся чисел.

Следовательно, наименьшее количество секунд, через которое это условие будет выполнено, - это 1 секунда.