В треугольнике АBC найдите периметр P, косинус угла при вершине B, проекцию вектора AB на вектор BC: A(2,3,1); B(0,-3,2); С(3,6,2)

Для начала найдем векторы AB и BC:

AB = B - A = (0, -3, 2) - (2, 3, 1) = (-2, -6, 1)
BC = C - B = (3, 6, 2) - (0, -3, 2) = (3, 9, 0)

Теперь найдем периметр треугольника ABC:

AB = √((-2)^2 + (-6)^2 + 1^2) = √(4 + 36 + 1) = √41
BC = √(3^2 + 9^2 + 0^2) = √(9 + 81) = √90
AC = √((3-2)^2 + (6-3)^2 + (2-1)^2) = √(1 + 9 + 1) = √11

P = AB + BC + AC = √41 + √90 + √11

Теперь найдем косинус угла при вершине B:

cos(B) = (AB * BC) / (|AB| * |BC|)
где AB * BC - скалярное произведение векторов AB и BC
|AB| и |BC| - длины векторов AB и BC

AB * BC = (-2 * 3) + (-6 * 9) + (1 * 0) = -6 - 54 + 0 = -60
|AB| = √41
|BC| = √90

cos(B) = -60 / (√41 * √90)

Наконец, найдем проекцию вектора AB на вектор BC:

Проекция вектора AB на вектор BC равна произведению длины вектора AB на косинус угла между векторами:

Проекция = |AB| * cos(B) = √41 * (-60 / (√41 * √90)) = -60 / √90

Таким образом, периметр треугольника P = √41 + √90 + √11, косинус угла при вершине B равен -60 / (√41 * √90), а проекция вектора AB на вектор BC равна -60 / √90.