В треугольнике ABC точка K на стороне AC, точка P на стороне BC. AP и BK пересекаются в точке O. AK=(1/3)*AC, BP=(2/3)*BC. Площадь треугольника ABC равна S.

Найти:

1) AO/OP

2) BO/OK

3) Площадь треугольника AOK

4) Площадь треугольника BOP

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Менелая.

1) Сначала найдем отношение AO/OP.
Из теоремы Менелая для треугольника ABC с участием точки O получаем:
AK/KB * BP/PC * CO/AO = 1
Подставляем известные значения:
(1/3) / (2/3) * (2/3) / (1/3) * CO/AO = 1
CO/AO = 1
CO = AO
Таким образом, AO = CO = OP.
Отсюда следует, что AO/OP = 1.

2) Теперь найдем отношение BO/OK.
Из теоремы Менелая для треугольника ABC с участием точки O получаем:
AK/KB * BP/PC * CO/OB = 1
Подставляем известные значения:
(1/3) / (2/3) * (2/3) / (1/3) * CO/OB = 1
CO/OB = 1
CO = OB
Таким образом, BO = CO = OK.
Отсюда следует, что BO/OK = 1.

3) Найдем площадь треугольника AOK.
Площадь треугольника AOK равна половине площади треугольника ABC, так как площадь треугольников AOK и BOK равны между собой и каждая из них составляет половину площади ABC.
Таким образом, площадь треугольника AOK равна S/2.

4) Найдем площадь треугольника BOP.
Площадь треугольника BOP также равна S/2, так как площадь треугольников AOK и BOK равны между собой и каждая из них составляет половину площади ABC.
Таким образом, площадь треугольника BOP равна S/2.

Итак, ответы на вопросы:
1) AO/OP = 1
2) BO/OK = 1
3) Площадь треугольника AOK = S/2
4) Площадь треугольника BOP = S/2