Найдите объем правильной четырёхугольный пирамиды, апофема которой равна 16 и и образует с плоскостью угол 30°

Обозначим апофему пирамиды через L. По условию L = 16, и она образует с плоскостью основания угол α = 30°.

В правильной четырёхугольной (квадратной) пирамиде апофема L – это высота боковой грани, то есть проведённая из вершины пирамиды на сторону её основания (точнее, перпендикуляр к этой стороне). Если рассмотреть проекцию L на плоскость основания, получим расстояние от проекции вершины (центр основания) до середины стороны основания. Обозначим это расстояние через R.

В треугольнике, полученном из апофемы L, её проекции R и высоты пирамиды h, угол между L и плоскостью основания равен 30°. Тогда имеем:
  sin(30°) = h / L  →  h = L sin(30°) = 16 · (1/2) = 8,
  cos(30°) = R / L  →  R = L cos(30°) = 16 · (√3/2) = 8√3.

Для правильной квадратной пирамиды расстояние от центра основания до середины стороны равно половине длины стороны основания a, то есть:
  R = a/2 → a = 2R = 2 · (8√3) = 16√3.

Найдём площадь основания S:
  S = a² = (16√3)² = 256 · 3 = 768.

Объем правильной пирамиды вычисляется по формуле:
  V = (1/3)·S·h = (1/3)·768·8 = 6144/3 = 2048.

Ответ: Объём пирамиды равен 2048 единиц³.