Найдите угол ABC равнобедренной трапеции ABCD если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной CD углы равные 30° и 80° соответственно

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD с базами AD и BC (то есть AD ∥ BC) и боковыми сторонами AB и CD (при этом AB = CD). По условию одна из диагоналей – AC – образует с основанием AD угол 30° (при­ вершина A) и с боковой стороной CD угол 80° (при вершине C).

Наша цель – найти меру угла ABC.

Чтобы увидеть, как всё устроено, можно построить систему координат. Рассмотрим следующий план:

1. Примем точку A за начало координат, A = (0, 0). Пусть основание AD лежит на горизонтальной прямой, то есть AD направлено вдоль оси x.
2. Так как угол между AC и AD равен 30°, то вектор AC выходит из A под углом 30° к горизонтали. Можно принять условно длину AC = 1, тогда координаты точки C (на конце вектора AC) будут
  C = (cos 30°, sin 30°) = (√3/2, 1/2) ≈ (0.866, 0.5).
3. Далее рассмотрим вершину C и боковую сторону CD. По условию угол между диагональю AC и стороной CD (из точки C) равен 80°. Из вектора AC, имеющего направление 30°, выбираем сторону CD так, чтобы угол между ними был 80°. Так как CD должна идти вниз (чтобы попасть на основание AD, где y = 0), то выбираем направление
  φ = 30° – 80° = –50°.
  То есть вектор CD имеет направление –50° от горизонтали.

4. Найдём точку D. Пусть параметр t — длина от C до D (то есть |CD| = t). Тогда координаты D:
  D = C + t · (cos(–50°), sin(–50°)).
  Требование, чтобы D лежала на нижней стороне (y = 0), даёт:
    y_Д = 0.5 + t · sin(–50°) = 0.5 – t · sin50 = 0.
  Отсюда t = 0.5/sin50. При sin50 ≈ 0.7660 получаем t ≈ 0.652.
  Определим x-координату:
    x_Д = 0.866 + t · cos50. При cos50 ≈ 0.6428 получаем t·cos50 ≈ 0.652×0.6428 ≈ 0.419.
  Тогда D ≈ (0.866 + 0.419, 0) = (1.285, 0).

5. Теперь определим остальные вершины трапеции. Трапеция ABCD имеет AD ∥ BC; поскольку AD – основание и проходит через A=(0,0) и D=(1.285,0), то прямая AD – горизонтальная (y = 0). Следовательно, верхняя база BC тоже горизонтальна. Мы знаем точку C = (0.866, 0.5), значит её y‐координата равна 0.5, и точка B должна иметь вид B = (x, 0.5) с некоторым x.

6. Так как трапеция равнобедренная, боковые стороны равны: AB = CD. Мы уже нашли |CD| ≈ 0.652. Тогда AB должно иметь ту же длину.
  – Точка A = (0, 0) и пусть B = (x, 0.5). Тогда вектор AB = (x – 0, 0.5 – 0) = (x, 0.5).
  – Его длина: |AB| = √(x² + 0.5²) должна равняться 0.652.
    Отсюда: x² = 0.652² – 0.25. При 0.652² ≈ 0.425 получаем
      x² ≈ 0.425 – 0.25 = 0.175 ⇒ x ≈ √0.175 ≈ 0.418.
  Таким образом, B ≈ (0.418, 0.5).

7. Теперь найдём угол ABC. Он находится в вершине B и образован сторонами BA и BC.
  – Вектор BA = A – B = (0 – 0.418, 0 – 0.5) = (–0.418, –0.5).
  – Вектор BC = C – B = (0.866 – 0.418, 0.5 – 0.5) = (0.448, 0).
  Найдём скалярное произведение:
    BA · BC = (–0.418)·(0.448) + (–0.5)·0 = –0.187.
  Модули:
    |BA| = √(0.418² + 0.5²) ≈ 0.652, |BC| = 0.448.
  Таким образом, cos(∠ABC) = (–0.187) / (0.652 × 0.448) ≈ –0.187/0.292 ≈ –0.641.
  Отсюда: ∠ABC ≈ arccos(–0.641) ≈ 130°.

Ответ: угол ABC равен 130°.