В прямоугольном параллелепипеде ABCDA,B,C, D, рёбра CD, СВ и диагональ CD, равны соответственно 4, 7 и

V 41. Найдите объём параллелепипеда ABCDA, B,GD1.

Обозначим размеры параллелепипеда так, чтобы ответ оказался очевидным. Пусть у нас прямоугольный параллелепипед с основанием ABCD и верхней гранью A₁B₁C₁D₁, а ребра параллелепипеда параллельны координатным осям.

Можно ввести такую систему координат:
• Пусть точка D располагается в начале координат: D = (0, 0, 0).
• Ребро CD имеет длину 4, выберем его вдоль оси X. Тогда точка C = (4, 0, 0).
• Ребро CB имеет длину 7, и, так как грани прямоугольные, оно перпендикулярно CD. Выберем его вдоль оси Y. Тогда точка B = (4, 7, 0).
• Высота параллелепипеда (ребро, параллельное оси Z) примем равной h; тогда точка D₁ (соответствующая D, поднятая на высоту) имеет координаты D₁ = (0, 0, h).

В условии дано, что диагональ, проведённая между точками C и D₁, равна √41. Найдём её:

  CD₁ = расстояние между C(4, 0, 0) и D₁(0, 0, h)
      = √[(4 – 0)² + (0 – 0)² + (0 – h)²]
      = √(16 + h²).

Приравнивая к √41, получаем:
  √(16 + h²) = √41 → 16 + h² = 41 → h² = 25 → h = 5 (так как высота положительна).

Итак, размеры параллелепипеда:
 – одна сторона основания = 4,
 – другая сторона основания = 7,
 – высота = 5.

Объём V параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:
  V = 4 · 7 · 5 = 140.

Ответ: объем параллелепипеда равен 140.