Через точку пересечения диагоналей квадрата MNPQ (точку О) проведен перпендикуляр OD к его плоскости. OD=8см MN=12см. Вычислите: а) расстояние от точки D до прямой NP б) площади треугольника MDN и его проекции на плоскости квадрата в) расстояние между прямыми OD и MN

Через точку пересечения диагоналей квадрата MNPQ (точку О) проведён перпендикуляр OD к его плоскости. OD=8 см, MN=12 см.
Вычислите:
а) расстояние от точки D до прямой NP.
б) площади треугольника MDN и его проекции на плоскость квадрата.
в )расстояние между прямыми OD и MN


Решение начинаем с рисунка.
Диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам.

а) Расстояние от т.D до прямой NP - наклонная DH, проведенная перпендикулярно NP.
По т.о 3-х перпендикулярах ОН⊥MP; DH⊥NP⇒
ОН=КN=MN:2=6 см
Из отношения катетов ОН:OD=3:4 ⊿ DOH - египетский и его гипотенуза DH=10 см- это и есть искомое расстояние. ( можно проверить по т.Пифагора).
б) Расстояния от D до сторон основания равны, и расстояния от D до вершин квадрата равны, т.к. DO проецируется в центр основания, и О - центр вписанной ( и описанной) окружности ⇒ ОК=ОH=6 см
∆ MDN- равнобедренный, его высота DK=DH=10 см
S ∆ MDN=DK•KN=10•6=60 см²
Проекция ∆ MDN на плоскость основания - это прямоугольный ∆ MON. Сторона МN - общая, вершина D ∆ MDN проецируется в точку пересечения диагоналей. MN=12, высота ОК=6
S (⊿=OK•MN:2=36 см²
в) DO и MN- лежат в разных плоскостях и не пересекаются. Они - скрещивающиеся прямые; расстояние между ними определяется общим перпендикуляром ОК, а так как он равен половине стороны квадрата, то это расстояние равно 6 см.