Существует ли треугольник со сторонами 10 см, 20 см, 30 см

Нет, не существует. Неравенство треугольника: длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух его других сторон. Стороны длиной 10 см и 20 см для того, чтобы соединиться концами, должны будут "лечь" на сторону длиной 30 см. и соединятся лишь на ней, т.е. обе они будут принадлежать прямой, содержащей большую сторону, или не соединятся вовсе. (См. рисунок вложения)