Лучшие помощники
- Megamozg 2205 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1720 б
- arkasha_bortnikov 895 б
- Dwayne_Johnson 865 б
Проверим для n=1
n^3+3n^2+5n+3=12 делится на 3, утверждение верно для n=1
n^3+3n^3+5n+3=12 делится на 3, утверждение верно для n=1
Пусть утверждение верно для всех n≤k, докажем его для n=k+1
(k+1)^3+3(k+1)^2+5(k+1)+3=
=k^3+3k^2+3k+1+3*(k^2+2k+1)+5k+5+3=
=k^3+3k^2+5k+3+3k^2+9k+9=
=(k^3+3k^2+5k+3)+3(k^2+3k+3)
(k^3+3k^2+5k+3) делится на 3 по предположению индукции, 3(k^2+3k+3) делится на 3, следовательно утверждение верно для n=k+1, следовательно утверждение верно для любых натуральных n.
Для тройки:
(k+1)^3+3(k+1)^3+5(k+1)+3=
=4(k^3+3k^3+3k+1)+5k+5+3=(4k^3+5k+3)+3*(4k^2+4k+3)
(4k^3+5k+3) делится на 3 по предположению индукции, 3*(4k^2+4k+3) делится на 3, следовательно утверждение верно для n=k+1, следовательно утверждение верно для любых натуральных n.
2. Метод математической индукции.
Проверим для n=2
2n^3-3n^2+n=6 делится на 6, утверждение верно для n=2
Пусть утверждение верно для всех n≤k, докажем его для n=k+1
2(k+1)^3-3(k+1)^2+(k+1)=
=2(k^3+3k^2+3k+1)-3(k^2+2k+1)+k+1=
=(2k^3-3k^2+k)+6k^2
(2k^3-3k^2+k) делится на 6 по предположению индукции, 6k^2 делится на 6, следовательно утверждение верно для n=k+1, следовательно утверждение верно для любых натуральных n.
Второй способ. Разложение на множители.
1. n^3+3n^2+5n+3=
=n^3+3n^2+3n+1+2n+2=
=(n+1)^3+2(n+1)=(n+1)((n+1)^2+2)=
=(n+1)(n^2+2n+3)=(n+1)(n(n+2)+3)=
=n(n+1)(n+2)+3(n+1)
n(n+1)(n+2) - произведение 3 последовательных чисел, делится на 3
3(n+1) делится на 3, следовательно вся сумма делится на 3.
2. 2n^3-3n^2+n=n(2n^2-3+1)
n=1 корень выражения в скобках, следовательно можно вынести (n-1)
n(2n^2-3+1)=n(n-1)(2n-1)=
=n(n-1)(2(n+1)-3)=2n(n-1)(n+1)-3n(n-1)
Из 2 последовательных чисел одно делится на 2, а из трех одно делится на 3, следовательно 2n(n-1)(n+1) делится на 6 и 3n(n-1) делится на 6
0
·
Хороший ответ
17 января 2023 01:24
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Алгебра
Cos(п/3+альфа) Нужно найти!!!(если нужно cos=-0.6 sin=-0.8)...
На рисунке изображён план дома двухкомнатные квартиры в многоэтажном жилом доме. В правой части рисунка обозначение двери и окна, а также указано что...
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 23 корень из 2. на...
Помогите пожалуйста) Первый рабочий должен был изготовить 95 деталей,а второй 60 деталей.Первый рабочий ежедневно изготавливал по 7 деталей,а второй-п...
Как делить степени с разными основаниями и показателями? 27^4:3^10 Объясните, забыл как это делать.......