Дан треугольник АБС, угол С-90 градусов, угол А- альфа, АС-b

Выразить второй катет, гипотенузу, угол Б через b и альфа

Рассмотрим прямоугольный треугольник АСВ.

По определению тригонометрических функций:

sin(α) = противолежащий катет / гипотенуза = AB / AC

cos(α) = прилежащий катет / гипотенуза = BC / AC

Так как угол C = 90 градусов, то по теореме Пифагора:

AC^2 = AB^2 + BC^2

Выразим из первого уравнения AB:

AB = AC * sin(α)

Из второго уравнения выразим BC:

BC = AC * cos(α)

Подставляем полученные выражения для AB и BC в уравнение теоремы Пифагора:

AC^2 = (AC * sin(α))^2 + (AC * cos(α))^2

AC^2 = AC^2 * sin^2(α) + AC^2 * cos^2(α)

AC^2 = AC^2 * (sin^2(α) + cos^2(α))

Сокращаем на AC^2 и получаем:

1 = sin^2(α) + cos^2(α)

Это уравнение называется тригонометрическим тождеством и оно верно для любого угла α. Оно указывает на то, что квадрат синуса угла и квадрат косинуса угла в сумме дают единицу.

Это тождество является основой для многих тригонометрических преобразований и формул. Например, с помощью него можно выразить одну тригонометрическую функцию через другую:

sin^2(α) = 1 - cos^2(α)

cos^2(α) = 1 - sin^2(α)

Также на основе тригонометрического тождества можно вывести формулы для тангенса, котангенса и других тригонометрических функций.