геометрия

1. Средние линии треугольника относятся как 1:5:8, а периметр треугольник равен 40,5 см. Найдите стороны треугольника.

2. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке O. Через точку О проведена прямая, параллельная стороне АС и пересекающая стороны АВ и ВС в точка E и F соответственно. Найдите EF если сторона AC равна 30 см.

3. В прямоугольном треугольнике ABC (<C=900) AC =11 cм, ВC= Найдите угол В и гипотенузу АВ.

4. В треугольнике АВС <А= , сторона ВС =4 см, BH – высота. Найти АН.

5. В трапеции ABCD продолжение боковых сторон пересекаются в точке К, причем точка В – середина отрезка АК. Найдите сумму оснований трапеции, если AD=10 см.

1. Обозначим стороны треугольника через a, b и c. Тогда по условию задачи имеем систему уравнений:

a + b = 2m
a + c = 2n
b + c = 2p
a + b + c = 40.5

где m, n и p - длины средних линий треугольника. Решая эту систему, получаем:

a = 9
b = 12
c = 19.5

Ответ: стороны треугольника равны 9, 12 и 19.5 см.

2. Обозначим точки пересечения медиан с соответствующими сторонами треугольника как A', B' и C'. Тогда, так как точка O - точка пересечения медиан, то A'O = 2/3 * AO, B'O = 2/3 * BO и C'O = 2/3 * CO. Также, так как прямая EF параллельна стороне AC, то треугольники AOE и COF подобны, откуда AE/OC = AO/CO, то есть AE = 2/3 * AC. Аналогично, BF = 2/3 * BC. Тогда EF = AE + BF = 2/3 * AC + 2/3 * BC = 2/3 * (AC + BC) = 2/3 * AB.

Таким образом, EF = 2/3 * AB. Для решения задачи нужно знать длину стороны AB, которую необходимо найти из дополнительных условий задачи.

3. В прямоугольном треугольнике угол B равен 90 градусов, поэтому угол В равен 180 - 90 - угол С = 90 градусов. Гипотенуза AB находится по теореме Пифагора: AB = √(AC^2 + BC^2) = √(11^2 + 4^2) = √(121 + 16) = √137.

Ответ: угол В равен 90 градусов, гипотенуза AB равна √137 см.

4. Обозначим точку пересечения высоты BH с стороной AC как D. Тогда треугольник ABH подобен треугольнику ACD, так как углы AHB и ADC прямые, а углы ABH и ACD равны, так как они соответственные. Таким образом, AB/AC = AH/AD, откуда AH = AB * AD / AC. Так как мы знаем сторону BC и угол А, то можем найти сторону AB по теореме косинусов: AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2*BC*AC*cos(A) = 4^2 + 11^2 - 2*4*11*cos(60) = 137, откуда AB = √137. Подставляя значения, получаем:

AH = √137 * 2 / 11.

Ответ: AH равно √137 * 2 / 11 см.

5. Так как точка В - середина отрезка АК, то AK = 2 * AB. Обозначим длины оснований трапеции ABCD через a и b. Тогда треугольники AKB и CKD подобны, так как углы AKC и BDK прямые, а углы ABK и CDK равны, так как они соответственные. Таким образом, AB/CD = BK/KD = AK/CK = 2. Тогда a + b = CD + AB = 2 * AB = AK. Ответ: сумма оснований трапеции равна AK = 2 * AB. Для решения задачи необходимо знать длину стороны AB, которую необходимо найти из дополнительных условий задачи.