Из точки А, не лежащей на окружности проведена касательная АВ и секущая АК, которая пересекает окружность в точках К и Р начиная от точки А. Найти длину отрезка АР, если АК = 5, АВ = 10

Используем свойство:

Внешний угол секущей равен полусумме невключенных дуг.

∠АКР = 1/2(∠АОВ - ∠АВК)

Так как АВ - касательная к окружности, то ∠АВК = 90°.

∠АКР = 1/2(∠АОВ - 90°)

Так как АК - секущая, то ∠АКР = ∠АКП.

∠АКП = 1/2(∠АОВ - 90°)

Так как АВ - касательная к окружности, то ∠АВО = 90°.

∠АОВ = ∠АВО + ∠ВОА = 90° + ∠ВОА

∠АКП = 1/2(90° + ∠ВОА - 90°) = 1/2∠ВОА

Так как АК = 5, АВ = 10, то ВК = АВ - АК = 10 - 5 = 5.

Треугольник АВК - прямоугольный, поэтому ВО = ВК = 5.

Треугольник АОВ - прямоугольный, поэтому ОВ = √(АО² - АВ²) = √(5² - 10²) = √(-75) - невозможно.

Так как ОВ не существует, то точка В лежит вне окружности, что противоречит условию. Значит, задача не имеет решений.