1. Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равен 32 м. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

2. Найдите площадь круга, если площадь вписанного в ограничивающую его окружность квадрата равна 72 дм2.

3. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см , если ее градусная мера равна 135°. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора?

4. Из круга, радиус которого равен 30 см, вырезан сектор. Дуга сектора равна 60°. Чему равна площадь оставшейся части круга?

5. Найдите углы (внешний, внутренний) правильного двенадцатиугольника.

1. Пусть сторона шестиугольника равна a, тогда его периметр равен 6a. По формуле для периметра правильного шестиугольника, равного 32 м, получаем: 6a = 32 м, а = 32/6 м = 5,33 м. Радиус окружности, вписанной в шестиугольник, равен r = a/√3. Тогда диаметр этой окружности равен 2r = 2a/√3. Сторона квадрата, вписанного в эту же окружность, равна d = √2r, а его площадь равна S = d^2/2. Подставляем значения и получаем: d = √(2a/√3) ≈ 7,23 м, S ≈ 26,12 м^2.

2. Пусть сторона квадрата равна a, тогда диаметр описанной окружности равен d = a√2. Площадь вписанного в эту окружность квадрата равна S1 = (d/2)^2 = a^2/2. Площадь ограничивающей окружности равна S2 = π(d/2)^2 = πa^2/2. По условию, S2 - S1 = 72 дм^2. Подставляем значения и получаем: πa^2/2 - a^2/2 = 72 дм^2, (π-1)a^2/2 = 72 дм^2, a^2 = 144(π-1) дм^2. Площадь описанной окружности равна S3 = πa^2/2 = 72π дм^2.

3. Длина дуги окружности равна L = (πd/360)α, где d - диаметр окружности, α - градусная мера дуги. Подставляем значения и получаем: L = (π*6/360)*135° = 3,14 см*1,5 = 4,71 см. Площадь кругового сектора равна S = (πr^2/360)α, где r - радиус окружности. Подставляем значения и получаем: S = (π*6^2/360)*135° = 9π/2 см^2 ≈ 14,14 см^2.

4. Площадь сектора равна S1 = (α/360)πr^2, где α - градусная мера дуги, r - радиус окружности. Площадь оставшейся части круга равна S2 = πr^2 - S1. Подставляем значения и получаем: S1 = (60/360)π*30^2 = 150π см^2, S2 = π*30^2 - 150π см^2 = 450π см^2 ≈ 1413,72 см^2.

5. Внутренний угол правильного n-угольника равен 180° - 360°/n, а внешний угол равен 360°/n. Для двенадцатиугольника получаем: внутренний угол ≈ 150°, внешний угол ≈ 30°.