В треугольнике ABC угол C равен 90 ∘ , tg ( B ) = 21 √ 3 11 . Найдите синус угла A .

Из определения тангенса:

$$\tan(B) = \frac{AC}{BC}$$

Из угла C = 90 градусов следует, что:

$$\tan(B) = \frac{AC}{BC} = \frac{\sin(A)}{\cos(A)}$$

Таким образом, мы можем записать:

$$\tan(B) = \frac{\sin(A)}{\cos(A)} = \frac{21\sqrt{3}}{11}$$

Решая это уравнение, получаем:

$$\sin(A) = \frac{\tan(B)}{\sqrt{1 + \tan^2(B)}} = \frac{21\sqrt{3}}{\sqrt{484 + 693}} = \frac{21\sqrt{3}}{\sqrt{1177}}$$

Упрощая под корнем, получаем:

$$\sin(A) = \frac{21\sqrt{3}}{\sqrt{29 \cdot 41}} = \frac{21\sqrt{3}}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{41}} = \frac{21\sqrt{3}}{29\sqrt{3}} = \frac{21}{29}$$

Таким образом, синус угла A равен 21/29.