Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника abc вокруг катета, равного 6. Найдти площадь полной поверхности 

Для начала нужно найти высоту конуса. Она равна второму катету треугольника, который можно найти по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$, где $c$ - гипотенуза, а $a$ и $b$ - катеты. Так как у нас равнобедренный треугольник, то $a=b$, значит $2a^2 = c^2$, откуда $a = b = \frac{c}{\sqrt{2}}$. Так как катет равен 6, то гипотенуза равна $c = 6\sqrt{2}$. Высота конуса равна второму катету, то есть $h = 6$.

Теперь можно найти площадь боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ - радиус основания, а $l$ - образующая. Радиус основания равен половине ширины основания треугольника, то есть $r = \frac{a}{2} = \frac{c}{2\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = 3$. Образующая равна $\sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = 3\sqrt{5}$. Таким образом, $S_{бок} = \pi \cdot 3 \cdot 3\sqrt{5} = 9\pi\sqrt{5}$.

Площадь основания конуса равна площади равнобедренного прямоугольного треугольника, то есть $\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$.

Итого, площадь полной поверхности конуса равна $S = S_{бок} + S_{осн} = 9\pi\sqrt{5} + 18\pi$.