BL — биссектриса треугольника ABC. Сторона BC больше стороны AB в 4 раза. Найдите отношение площадей треугольников BLC и ABL.

Для начала, обозначим длину стороны AB через x. Тогда длина стороны BC будет равна 4x.

Так как BL — биссектриса треугольника ABC, она делит сторону AC на две части, пропорциональные другим сторонам треугольника. То есть,

AC/AB = BC/BA

AC/x = 4x/x

AC = 4x^2

Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника ABC: AB = x, BC = 4x, AC = 4x^2.

Чтобы найти отношение площадей треугольников BLC и ABL, нам нужно найти высоты этих треугольников, опущенные на сторону AB.

Пусть h1 и h2 — высоты треугольников BLC и ABL соответственно. Тогда

h1 = (2S_BLC) / BC

h2 = (2S_ABL) / AB

где S_BLC и S_ABL — площади треугольников BLC и ABL соответственно.

Найдем площадь треугольника BLC:

S_BLC = (1/2) * BL * LC * sin(angle_BLC)

где LC — высота треугольника BLC, опущенная на сторону BC, а angle_BLC — угол между сторонами BL и LC.

Заметим, что угол BLC равен половине угла ACB, так как BL — биссектриса. А угол ACB равен

angle_ACB = 180 - angle_BAC - angle_ABC = 180 - 180/2 - 180/3 = 60 градусов.

Таким образом, angle_BLC = angle_ACB / 2 = 30 градусов.

Теперь можем выразить высоту LC через сторону BC и угол BLC:

LC = BC * sin(angle_BLC) = 4x * sin(30°) = 2x

Тогда площадь треугольника BLC равна:

S_BLC = (1/2) * BL * LC * sin(angle_BLC) = (1/2) * BL * 2x * sin(30°) = x * BL * sin(30°)

Найдем теперь площадь треугольника ABL:

S_ABL = (1/2) * AB * h2 = (1/2) * x * h2

Осталось найти высоту h2. Для этого заметим, что треугольники ABL и ABC подобны с коэффициентом 1:4 (по теореме о биссектрисе). Значит,

h2 / AC = AB / BC

h2 / 4x^2 = x / 4x

h2 = x^2 / 4

Теперь можем найти отношение площадей треугольников BLC и ABL:

S_BLC / S_ABL = (x * BL * sin(30°)) / ((1/2) * x * h2) = 2BL * sin(30°) / (x/2) = 4BL / x

Осталось найти длину биссектрисы BL. Для этого воспользуемся теоремой о биссектрисе:

BL / AC = BA / BC

BL / 4x^2 = x / 4x

BL = x^2 / 4

Теперь можем выразить отношение площадей через BL:

S_BLC / S_ABL = 4BL / x = x^3 / x = x^2

Ответ: отношение площадей треугольников BLC и ABL равно x^2.