Период сверхрешётки равен 30 нм. Электрони частично заполняют нижнюю минизону. Вдоль оси сверхурешётки прикладывают электрическое поле и измеряют плотность стационарного электричество тока. Она достигает первого максимума при напряжённости приложенного электрического поля 1 кВ/см. Чему равно время релаксации импульса электрона?

Для решения задачи нам понадобится использовать формулу для плотности тока в сверхрешетке:

$j = \frac{e\mu}{L} \int_{-\infty}^{\infty} D(E) v(E) f(E) \cos\left(\frac{qL}{\hbar}\right) dE$

где $e$ - заряд электрона, $\mu$ - подвижность электронов, $L$ - период сверхрешетки, $D(E)$ - плотность состояний, $v(E)$ - скорость электрона, $f(E)$ - функция распределения электронов по энергиям, $q$ - волновой вектор, $\hbar$ - постоянная Планка.

Мы знаем, что плотность тока достигает максимума при напряжённости поля 1 кВ/см. Поскольку напряжённость поля связана с волновым вектором следующим образом:

$E = \frac{\hbar^2 q^2}{2m} + \frac{qV}{L}$

где $m$ - эффективная масса электрона, $V$ - приложенное напряжение.

Мы можем выразить волновой вектор $q$ через напряжение $V$:

$q = \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}\left(E - \frac{qV}{L}\right)}$

Подставляя это выражение в формулу для плотности тока и дифференцируя её по напряжению $V$, мы можем найти значение напряжения, при котором плотность тока достигает максимума:

$\frac{dj}{dV} = \frac{e\mu}{L} \int_{-\infty}^{\infty} D(E) v(E) f(E) \sin\left(\frac{qL}{\hbar}\right) \frac{q}{L} dE = 0$

Поскольку мы знаем, что максимум достигается при напряжённости поля 1 кВ/см, мы можем найти соответствующее значение энергии $E$:

$1 \text{ кВ/см} = \frac{1 \text{ В}}{1 \text{ см}} = \frac{10^7 \text{ В}}{1 \text{ м}}$

$E = \frac{\hbar^2 q^2}{2m} + \frac{qV}{L} = \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{2m}{\hbar^2}\left(E - \frac{qV}{L}\right)\right) + \frac{qV}{L} = E - \frac{qV}{L} + \frac{qV}{L} = E$

$E = \frac{1}{2}\frac{e}{\mu} \frac{dj}{dV} \frac{L}{q} \tan\left(\frac{qL}{\hbar}\right)$

$E = \frac{1}{2}\frac{e}{\mu} \frac{dj}{dV} \frac{L}{\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}\left(E - \frac{qV}{L}\right)}} \tan\left(\frac{qL}{\hbar}\right)$

$E = \frac{1}{2}\frac{e}{\mu} \frac{dj}{dV} \frac{L}{\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}\left(E - \frac{qV}{L}\right)}} \frac{\sin\left(\frac{qL}{\hbar}\right)}{\cos\left(\frac{qL}{\hbar}\right)}$

$E = \frac{1}{2}\frac{e}{\mu} \frac{dj}{dV} \frac{L}{\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}\left(E - \frac{qV}{L}\right)}} \frac{\sqrt{1 - \cos^2\left(\frac{qL}{\hbar}\right)}}{\cos\left(\frac{qL}{\hbar}\right)}$

$E = \frac{1}{2}\frac{e}{\mu} \frac{dj}{dV} \frac{L}{\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}\left(E - \frac{qV}{L}\right)}} \frac{\sqrt{1 - \left(1 - \frac{\hbar^2 q^2}{4}\right)^2}}{1 - \frac{\hbar^2 q^2}{4}}$

$E = \frac{1}{2}\frac{e}{\mu} \frac{dj}{dV} \frac{L}{\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}\left(E - \frac{qV}{L}\right)}} \frac{\sqrt{\frac{\hbar^4 q^4}{16}}}{1 - \frac{\hbar^2 q^2}{4}}$

$E = \frac{1}{2}\frac{e}{\mu} \frac{dj}{dV} \frac{L}{\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}\left(E - \frac{qV}{L}\right)}} \frac{\hbar^2 q^2}{4}\frac{1}{1 - \frac{\hbar^2 q^2}{4}}$

$E = \frac{1}{2}\frac{e}{\mu} \frac{dj}{dV} \frac{L}{\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}\left(E - \frac{qV}{L}\right)}} \frac{\hbar^2 q^2}{4 - \hbar^2 q^2}$

$E = \frac{1}{2}\frac{e}{\mu} \frac{dj}{dV} \frac{L}{\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}\left(E - \frac{qV}{L}\right)}} \frac{\hbar^2}{4 - \hbar^2 q^2} \frac{2m}{\hbar^2}\left(E - \frac{qV}{L}\right)$

$E = \frac{1}{2}\frac{e}{\mu} \frac{dj}{dV} \frac{L}{\sqrt{2m}} \frac{1}{\sqrt{E - \frac{\hbar^2 q^2 V}{2mL^2}}} \frac{\hbar^2}{4 - \hbar^2 q^2} \left(E - \frac{\hbar^2 q^2 V}{2mL^2}\right)$

$E = \frac{1}{2}\frac{e}{\mu} \frac{dj}{dV} \frac{L}{\sqrt{2m}} \frac{1}{\sqrt{E - \frac{\hbar^2 q^2 V}{2mL^2}}} \frac{\hbar^2}{4 - \frac{2m}{\hbar^2}\left(\frac{\hbar^2 q^2 V}{2mL^2}\right)} \left(E - \frac{\hbar^2 q^2 V}{2mL^2}\right)$

$E = \frac{1}{2}\frac{e}{\mu} \frac{dj}{dV} \frac{L}{\sqrt{2m}} \frac{1}{\sqrt{E - \frac{\hbar^2 q^2 V}{2mL^2}}} \frac{\hbar^2}{2 - q^2} \left(E - \frac{\hbar^2 q^2 V}{2mL^2}\right)$

$E = \frac{1}{2}\frac{e}{\mu} \frac{dj}{dV} \frac{L}{\sqrt{2m}} \frac{\hbar^2}{2 - q^2} \sqrt{E - \frac{\hbar^2 q^2 V}{2mL^2}} \left(E - \frac{\hbar^2 q^2 V}{2mL^2}\right)$

$E = \frac{1}{2}\frac{e}{\mu} \frac{dj}{dV} \frac{L}{\sqrt{2m}} \frac{\hbar^2}{2 - \frac{2m}{\hbar^2}\left(\frac{\hbar^2 q^2 V}{2mL^2}\right)} \sqrt{E - \frac{\hbar^2 q^2 V}{2mL^2}} \left(E - \frac{\hbar^2 q^2 V}{2mL^2}\right)$

$E = \frac{1}{2}\frac{e}{\mu} \frac{dj}{dV} \frac{L}{\sqrt{2m}} \frac{\hbar^2}{\hbar^2 - q^2 m} \sqrt{E - \frac{\hbar^2 q^2 V}{2mL^2}} \left(E - \frac{\hbar^2 q^2 V}{2mL^2}\right)$

Подставляем известные значения: $L = 30 \text{ нм}$, $E = \frac{\hbar^2 q^2}{2m}$, $\frac{dj}{dV} = 0$ (при максимуме плотности тока), $E = \frac{\hbar^2 q^2}{2m}$, $E = \frac{\hbar^2 q^2}{2m} - \frac{\hbar^2 q^2 V}{2mL^2}$ (при напряжённости поля 1 кВ/см).

$\frac{1}{2}\frac{e}{\mu} \frac{dj}{dV} \frac{L}{\sqrt{2m}} \frac{\hbar^2}{\hbar^2 - q^2 m} \sqrt{E - \frac{\hbar^2 q^2 V}{2mL^2}} \left(E - \frac{\hbar^2 q^2 V}{2mL^2}\right) = \frac{\hbar^2 q^2}{2m} - \frac{\hbar^2 q^2}{2m} + \frac{\hbar^2 q^2}{2m}\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m}\tau\right)}$

$\frac{1}{2}\frac{e}{\mu} \frac{dj}{dV} \frac{L}{\sqrt{2m}} \frac{\hbar^2}{\hbar^2 - q^2 m} \sqrt{\frac{\hbar^2 q^2}{2m} - \frac{\hbar^2 q^4}{2m^2}\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m}\tau\right)}} \left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m} - \frac{\hbar^2 q^4}{2m^2}\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m}\tau\right)}\right) = \frac{\hbar^2 q^2}{2m}\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m}\tau\right)}$

$\frac{1}{2}\frac{e}{\mu} \frac{dj}{dV} \frac{L}{\sqrt{2m}} \frac{\hbar^2}{\hbar^2 - q^2 m} \sqrt{\frac{\hbar^2 q^2}{2m}} \sqrt{1 - \frac{\hbar^2 q^2}{2m}\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m}\tau\right)}} \left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m} - \frac{\hbar^2 q^4}{2m^2}\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m}\tau\right)}\right) = \frac{\hbar^2 q^2}{2m}\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m}\tau\right)}$

$\frac{1}{2}\frac{e}{\mu} \frac{dj}{dV} \frac{L}{\sqrt{2m}} \frac{\hbar^2}{\hbar^2 - q^2 m} \sqrt{\frac{\hbar^2 q^2}{2m}} \sqrt{\frac{\hbar^2 q^2}{2m}\left(1 - \frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m}\tau\right)}\right)} \left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m} - \frac{\hbar^2 q^4}{2m^2}\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m}\tau\right)}\right) = \frac{\hbar^2 q^2}{2m}\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m}\tau\right)}$

$\frac{1}{2}\frac{e}{\mu} \frac{dj}{dV} \frac{L}{\sqrt{2m}} \frac{\hbar^2}{\hbar^2 - q^2 m} \frac{\hbar q}{\sqrt{2m}} \sqrt{1 - \frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m}\tau\right)}} \left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m} - \frac{\hbar^2 q^4}{2m^2}\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m}\tau\right)}\right) = \frac{\hbar^2 q^2}{2m}\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m}\tau\right)}$

$\frac{1}{2}\frac{e}{\mu} \frac{dj}{dV} \frac{L}{\sqrt{2m}} \frac{\hbar^3 q}{\hbar^2 - q^2 m} \sqrt{1 - \frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m}\tau\right)}} \left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m} - \frac{\hbar^2 q^4}{2m^2}\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m}\tau\right)}\right) = \frac{\hbar^2 q^2}{2m}\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m}\tau\right)}$

$\frac{e}{\mu} \frac{dj}{dV} \frac{L}{\sqrt{2m}} \frac{\hbar^3 q}{\hbar^2 - q^2 m} \sqrt{1 - \frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m}\tau\right)}} \left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m} - \frac{\hbar^2 q^4}{2m^2}\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m}\tau\right)}\right) = \frac{\hbar^2 q^2}{2m}\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m}\tau\right)}$

$\frac{e}{\mu} \frac{dj}{dV} \frac{L}{\sqrt{2m}} \frac{\hbar^3 q}{\hbar^2 - q^2 m} \sqrt{1 - \frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m}\tau\right)}} \left(1 - \frac{\hbar^2 q^2}{2m}\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m}\tau\right)}\right) = \frac{\hbar^2 q^2}{2m}\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar^2 q^2}{2m}\tau\right)}$

$\frac{e}{\mu