расстояния от вершины параллелограмма до точки пересечения диагоналей равны 8см и 13см. Какова длина каждой диагонали? В ответ пишем величины без ед. измерения, через запятую в порядке возрастания

Пусть $AC$ и $BD$ — диагонали параллелограмма $ABCD$, а точка пересечения диагоналей — $O$. Обозначим $h_1$ и $h_2$ — расстояния от вершины $A$ до $BD$ и от вершины $B$ до $AC$ соответственно. Тогда $h_1 = h_2 = \frac{2S_{ABCD}}{AB}$. Заметим, что $S_{ABCD} = S_{AOD} + S_{BOC}$, где $S_{AOD} = \frac12 \cdot AO \cdot h_1$, $S_{BOC} = \frac12 \cdot BO \cdot h_2$, а $S_{ABCD} = AB \cdot h_1$. Таким образом, $AB \cdot h_1 = \frac12 \cdot AO \cdot h_1 + \frac12 \cdot BO \cdot h_2$. Аналогично, $AB \cdot h_2 = \frac12 \cdot CO \cdot h_1 + \frac12 \cdot DO \cdot h_2$.

Подставим известные значения: $h_1 = 8\,\text{см}$, $h_2 = 13\,\text{см}$. Обозначим $x = AO$, $y = BO$, $z = CO$, $t = DO$. Получим систему уравнений:

$$
\begin{cases}
8AB = \frac12 x \cdot 8 + \frac12 y \cdot 13 \\
13AB = \frac12 z \cdot 8 + \frac12 t \cdot 13 \\
x + z = AB \\
y + t = AB
\end{cases}
$$

Решив ее, получим: $AB = 17\,\text{см}$, $AD = 15\,\text{см}$, $BC = 8\,\text{см}$, $AC = 10\,\text{см}$.

Ответ: $8\,\text{см}, 15\,\text{см}, 17\,\text{см}, 10\,\text{см}$.