Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 135°, а CD = 39.

Так как углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 135°, то мы можем найти угол ACD следующим образом:

ACD = 360° - ABC - BCD
ACD = 360° - 60° - 135°
ACD = 165°

Так как AB || CD, то угол ABD также равен 165°.

Теперь мы можем использовать теорему косинусов для нахождения боковой стороны AB:

AB² = AD² + BD² - 2AD * BD * cos(ABD)

Мы знаем, что AD = BC (так как это трапеция), и мы можем найти BD, используя теорему Пифагора в треугольнике BCD:

BD² = CD² - BC²
BD² = 39² - BC²

Также мы знаем, что угол ABD равен 165°, поэтому мы можем выразить cos(ABD) как cos(180° - 165°) = -cos(15°).

Теперь мы можем подставить все значения в формулу для AB:

AB² = BC² + (39² - BC²) - 2BC * √3 * (−cos(15°))
AB² = 39² - 2BC² + 78BC * √3 * cos(15°)
AB² = 39² - 2BC² + 78BC * √3 * (cos²(15°) - sin²(15°))
AB² = 39² - 2BC² + 78BC * √3 * ((√6 + √2) / 4 - (√6 - √2) / 4)
AB² = 39² - 2BC² + 39BC * √3

Теперь мы можем решить это уравнение относительно BC:

2BC² - 39BC * √3 + 39² - AB² = 0

Решив это квадратное уравнение, мы получим два значения:

BC = 12√3 или BC = 13√3

Так как BC не может быть больше CD, то мы выбираем BC = 12√3.

Теперь мы можем найти AB, используя любую из формул:

AB² = BC² + (39² - BC²) - 2BC * √3 * (−cos(15°))
AB² = 39² - 2(12√3)² + 78(12√3) * √3 * cos(15°)
AB = 45.5

Ответ: боковая сторона AB трапеции ABCD равна 45.5.