Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол 45°, а диагональ боковой грани —- угол 60°. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 8 см. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда

Пусть длины ребер параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$. Тогда из условия задачи имеем:
\begin{align*}
a^2 + b^2 &= 2c^2 \\
b^2 + c^2 &= 3a^2 \\
c &= 8\text{ см}
\end{align*}

Из первого уравнения находим $c^2 = \frac{a^2+b^2}{2}$, а из второго уравнения находим $a^2 = \frac{b^2+c^2}{3}$. Подставляем выражение для $c^2$ во второе уравнение и получаем:
$$a^2 = \frac{b^2+\frac{a^2+b^2}{2}}{3}$$
Решая это уравнение относительно $b^2$, получаем $b^2 = \frac{2a^2}{5}$.

Теперь можем выразить $c^2$ и $a^2$ через $b^2$:
\begin{align*}
c^2 &= \frac{a^2+b^2}{2} = \frac{3b^2}{2\cdot 2} = \frac{3a^2}{5} \\
a^2 &= \frac{b^2+c^2}{3} = \frac{5b^2}{9}
\end{align*}

Итак, мы нашли длины всех ребер параллелепипеда:
\begin{align*}
a &= \sqrt{\frac{5}{9}} b \\
b &= \sqrt{\frac{2}{5}} c \\
c &= 8\text{ см}
\end{align*}

Теперь можем вычислить объем параллелепипеда:
$$V = abc = \sqrt{\frac{5}{9}} \cdot \sqrt{\frac{2}{5}} \cdot 8^3 = \boxed{256\sqrt{10}}\text{ см}^3$$