Основанием прямоугольного параллелепипеда АВСДА1В1С1Д1, является квадрат со стороной равной 2. На боковом ребре ДД1, равном 3 выбрана точка К, которая делит его в отношении 2:1 считая от вершины Д. Найдите: а) Угол между прямыми КС и А1В1; б) Угол между плоскостями АКС и АВС.

А) Для начала найдем координаты точек К, С и С1. Рассмотрим треугольник ДКС, в котором КД1:Д1С=2:1, а ДК1:К1С=1:1. Пусть ДК1=x, тогда К1С=3-x и Д1С=2(3-x)/3. Так как КС параллельна А1В1, то векторы КС и А1В1 коллинеарны, а значит, их скалярное произведение равно произведению их длин на косинус угла между ними. Найдем длину вектора А1В1: |А1В1|=√2^2+2^2=2√2. Найдем длину вектора КС: |КС|=√(3-x)^2+2^2. Тогда cos(угла между КС и А1В1)=cos(α)=(А1В1, КС)/(|А1В1||КС|)=(2√2(3-x))/2√2√(9-x^2)=-(3-x)/√(9-x^2). Ответ: α=arccos(-(3-x)/√(9-x^2)).

б) Угол между плоскостями АКС и АВС равен углу между их нормалями. Найдем нормали к этим плоскостям. Вектор нормали к плоскости АВС равен векторному произведению векторов АВ и АС: n1=АВ×АС. Найдем координаты этих векторов: АВ=(-2,0,0), АС=(0,2,0), тогда n1=(0,0,4). Вектор нормали к плоскости АКС равен векторному произведению векторов АК и АС: n2=АК×АС. Найдем координаты этих векторов: АК=(x,0,3), тогда n2=(0,3x,2(x-3)). Тогда cos(угла между плоскостями АКС и АВС)=cos(β)=|n1·n2|/(|n1||n2|)=(12(x-3))/8√2√(x^2-9). Ответ: β=arccos((3(x-3))/2√2√(x^2-9)).