Найти площадь криволинейной трапеции y=-x^2+x+2 y=0

Для нахождения площади криволинейной трапеции необходимо вычислить интеграл от модуля разности двух функций, ограничивающих трапецию, на заданном интервале.

В данном случае, функции, ограничивающие трапецию, заданы как y=-x^2+x+2 и y=0.

Интервал, на котором рассматривается трапеция, не указан, поэтому будем считать, что это интервал от x=0 до x=2 (то есть, трапеция лежит между вертикальными прямыми x=0 и x=2).

Тогда площадь криволинейной трапеции будет равна:

S = ∫[0,2] |(-x^2+x+2) - 0| dx

S = ∫[0,2] |-x^2+x+2| dx

Поскольку под знаком модуля наша функция является параболой с ветвями, направленными вниз, то мы можем разбить интервал интегрирования на две части: от 0 до 1 и от 1 до 2. На первой части функция будет иметь вид y=x^2-x+2, а на второй - y=-x^2+x+2.

Тогда:

S = ∫[0,1] (x^2-x+2) dx + ∫[1,2] (-x^2+x+2) dx

S = [(1/3)x^3 - (1/2)x^2 + 2x]0^1 + [(-1/3)x^3 + (1/2)x^2 + 2x]1^2

S = (1/3) + (4/3) + (2/3) + (8/3) - (8/3) + (5/2) - (2/3) - (3/2) + 2

S = 5/3 + 5/2 + 1/2

S = 8.5

Ответ: площадь криволинейной трапеции равна 8.5.