Вы ответили противоречиво:

1 ответ.

Да, ваше предположение верно. В арифметической иерархии формул существуют различные уровни, включая сигма1-формулы и пи1-формулы. Если соединить закрытую сигма1-формулу с закрытой пи1-формулой конъюнкцией, результатом будет пи1-формула. Обратно, если соединить закрытую пи1-формулу с закрытой сигма1-формулой конъюнкцией, результатом будет сигма1-формула.

Например, рассмотрим следующие формулы:

1) Сигма1-формула: ∃x(x > 0)

2) Пи1-формула: ∀x(x > 0)

Если мы соединим эти формулы конъюнкцией, то получим пи1-формулу:

∃x(x > 0) ∧ ∀x(x > 0)

Если же мы поменяем порядок и соединим пи1-формулу с сигма1-формулой конъюнкцией, то получим сигма1-формулу:

∀x(x > 0) ∧ ∃x(x > 0)

Таким образом, результат зависит от квантора в начале формулы.

2 ответ.

Да, вы правильно понимаете арифметическую иерархию. Если соединить закрытую сигма1-формулу (неограниченный квантор существования) конъюнкцией с закрытой пи-1 формулой, то результат будет сигма1-формулой. Обратно, если соединить закрытую пи-1 формулу (неограниченный квантор всеобщности) конъюнкцией с закрытой сигма1-формулой, результат будет пи-1 формулой.

Например, пусть у нас есть закрытая сигма1-формула "Существует x (x > 0)" и закрытая пи-1 формула "Для всех x (x > 0)". Если мы объединим их конъюнкцией, получим следующую формулу: "Существует x (x > 0) ∧ Для всех x (x > 0)". Результат будет сигма1-формулой, так как сначала идет неограниченный квантор существования.

Если бы мы поменяли порядок и объединили закрытую пи-1 формулу с закрытой сигма1-формулой, то получили бы формулу: "Для всех x (x > 0) ∧ Существует x (x > 0)". Результат был бы пи-1 формулой, так как сначала идет неограниченный квантор всеобщности.

Это два взаимопротиворечивых ответа. Верен только один. Какой?