В ромбе АВСD на продолжении диагонали АС отмечены точки Т и К так, что отрезки АТ и СК равны и точки Т и К находятся вне ромба. Точки Т и К находятся по разные стороны от точки О.

Докажите, что ВКDТ ромб. Докажите, что треугольники ВОК и ТОD равны.

Для начала докажем, что ВКDТ - ромб.

По условию, отрезки АТ и СК равны, а точки Т и К находятся по разные стороны от точки О. Рассмотрим треугольник АОС.

Так как точки Т и К находятся по разные стороны от точки О, то отрезок ТК пересекает диагональ АС. Обозначим точку пересечения отрезка ТК с диагональю АС как М.

Поскольку отрезки АТ и СК равны, то треугольники АТМ и СМК равны по двум сторонам и углу между ними (по стороне АТ, стороне СК и углу АТС).

Так как треугольники АТМ и СМК равны, то их высоты, проведенные из вершин Т и К соответственно, равны. Обозначим эти высоты как h1 и h2.

Так как вершины Т и К находятся на продолжении диагонали АС, то отрезки ТМ и КМ являются высотами треугольников АТМ и СМК соответственно.

Следовательно, отрезки ТМ и КМ равны, то есть h1 = h2.

Так как отрезки ТМ и КМ равны, то отрезки ТВ и КВ также равны (поскольку вершины В, Т и К лежат на одной прямой).

Таким образом, отрезки ТВ, ВК, КД и ДТ равны, что означает, что ВКДТ - ромб.

Теперь докажем, что треугольники ВОК и ТОД равны.

Рассмотрим треугольники ВОК и ТОД. У них есть следующие равные стороны:
- ОК = ОД (так как это диагонали ромба ВКДТ);
- ВК = ДТ (так как ВКДТ - ромб).

Также у этих треугольников есть общая сторона ОВ.

Таким образом, треугольники ВОК и ТОД равны по теореме SSS (сторона-сторона-сторона).

Таким образом, мы доказали, что ВКДТ - ромб, а треугольники ВОК и ТОД равны.