Точки D (1; 4) и E (2; 2) — середины сторон AC и BC треугольника ABC соответственно. Чему равны координаты вершины C, если В (-3; -1)?

*один правильный ответ

1.(8; 4)

2.(2; 1)

3.(-5; 3)

4.(7; 5)

выбрать ответ из предложанных и пояснить

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться свойством серединных перпендикуляров в треугольнике.

Согласно свойству, серединный перпендикуляр к стороне треугольника проходит через середину этой стороны и перпендикулярен данной стороне.

Из условия задачи, точка D (1; 4) является серединой стороны AC, а точка E (2; 2) - серединой стороны BC.

Так как сторона AC перпендикулярна стороне BC, то их серединные перпендикуляры должны быть параллельными.

Найдем уравнение прямой, проходящей через точку D (1; 4) и параллельной прямой BC.

Уравнение прямой, проходящей через точку D (1; 4) и имеющей направляющий вектор (a, b), где a и b - координаты этого вектора, можно записать в виде:

y - 4 = b(x - 1).

Так как прямая параллельна прямой BC, то ее направляющий вектор будет совпадать с направляющим вектором прямой BC.

Направляющий вектор прямой BC можно найти как разность координат точек B (-3; -1) и C (x, y):

BC = (x - (-3), y - (-1)) = (x + 3, y + 1).

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку D (1; 4) и параллельной прямой BC, можно записать в виде:

y - 4 = (y + 1)/(x + 3)(x - 1).

Теперь найдем координаты точки C, подставив уравнение прямой в уравнение серединного перпендикуляра:

(y - 4) = (y + 1)/(x + 3)(x - 1).

Упростим это уравнение:

(x + 3)(x - 1)(y - 4) = (y + 1).

Раскроем скобки:

(x^2 + 2x - 3)(y - 4) = (y + 1).

Распределение:

x^2y - 4x^2 + 2xy - 8x - 3y + 12 = y + 1.

Сгруппируем переменные:

x^2y + 2xy - 3y - 4x^2 - 8x - y + 12 - 1 = 0.

x^2y + 2xy - 4x^2 - 3y - y - 8x + 11 = 0.

x^2y + 2xy - 4x^2 - 4y - 8x + 11 = 0.

Теперь найдем координаты точки C, подставив значения x и y из предложенных ответов.

1. (8; 4):
(8^2 * 4) + (2 * 8 * 4) - (4 * 8^2) - (4 * 4) - (8 * 8) + 11 = 0.
256 + 64 - 256 - 16 - 64 + 11 = 0.
15 = 0 - неверно.

2. (2; 1):
(2^2 * 1) + (2 * 2 * 1) - (4 * 2^2) - (4 * 1) - (8 * 2) + 11 = 0.
4 + 4 - 16 - 4 - 16 + 11 = 0.
-7 = 0 - неверно.

3. (-5; 3):
((-5)^2 * 3) + (2 * (-5) * 3) - (4 * (-5)^2) - (4 * 3) - (8 * (-5)) + 11 = 0.
75 - 30 - 100 - 12 + 40 + 11 = 0.
-16 = 0 - неверно.

4. (7; 5):
(7^2 * 5) + (2 * 7 * 5) - (4 * 7^2) - (4 * 5) - (8 * 7) + 11 = 0.
245 + 70 - 196 - 20 - 56 + 11 = 0.
54 = 0 - неверно.

Таким образом, ни одно из предложенных значений не удовлетворяет уравнению.

Ответ: Нет правильного ответа.