Решите пожалуйста подробно задачу, желательно с рисунком!

Через вершины A и C треугольника ABC, площадь которого равна 10 корней из 3 проведена окружность, пересекающая сторону AB в точке M, а продолжение стороны BC – в точке N. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на отрезке MN. Найти длину MN, если известно, что BC = 5, угол ABC = 60°.

Для начала нарисуем треугольник ABC и проведем окружность через вершины A и C:

\[
\begin{array}{c c}
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=below left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below right:$B$] (B) at (3,0);
\coordinate[label=above:$C$] (C) at (1.5,2.6);

\draw (A) -- node[below] {$5$} (B) -- (C) -- node[right] {$h$} cycle;

\draw (A) circle [radius=2.6];
\end{tikzpicture}
&
\begin{array}{l}
\text{где } h \text{ - высота треугольника,} \\
\text{так как площадь треугольника } ABC = 10\sqrt{3}.
\end{array}
\end{array}
\]

Поскольку $\angle ABC = 60^\circ$, то треугольник ABC является равносторонним. Таким образом, $AB = BC = AC = 5$.

Теперь обозначим точки пересечения окружности с сторонами AB и BC как M и N соответственно:

\[
\begin{array}{c c}
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=below left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below right:$B$] (B) at (3,0);
\coordinate[label=above:$C$] (C) at (1.5,2.6);

\draw (A) -- node[below] {$5$} (B) -- (C) -- node[right] {$h$} cycle;

\draw (A) circle [radius=2.6];
\coordinate[label=above left:$M$] (M) at (0,2.6);
\coordinate[label=above right:$N$] (N) at (1.5,0);

\end{tikzpicture}
&
\begin{array}{l}
\text{Так как центр окружности,} \\
\text{описанной около треугольника ABC,} \\
\text{лежит на отрезке MN, то он} \\
\text{также является центром окружности,} \\
\text{проведенной через вершины A и C.}
\end{array}
\end{array}
\]

Из равностороннего треугольника ABC следует, что высота равна $h = 5 \cdot \sqrt{3}$.

Также, поскольку AM и CN являются радиусами окружности, проведенной через вершины A и C, то они равны радиусу окружности, описанной около треугольника ABC. Следовательно, $AM = CN = 5 \cdot \sqrt{3}$.

Теперь рассмотрим треугольник AMC. Он является прямоугольным, так как AM и CM являются радиусами окружности. Из прямоугольного треугольника AMC мы можем найти длину отрезка MN:

\[
MN = AC - AM - CN = 5 - 5\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = 5 - 10\sqrt{3}.
\]

Итак, длина отрезка MN равна $5 - 10\sqrt{3}$.