найдите наименьшее значение отношения : х^4+4/x^2+2x+2

Для нахождения наименьшего значения отношения \( \frac{x^4 + 4}{x^2 + 2x + 2} \) нужно найти минимум функции \( y = \frac{x^4 + 4}{x^2 + 2x + 2} \).

Для этого найдем производную функции \( y \) и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

\( y = \frac{x^4 + 4}{x^2 + 2x + 2} \)

\( y' = \frac{(4x^3(x^2 + 2x + 2) - (x^4 + 4)(2x + 2))}{(x^2 + 2x + 2)^2} \)

\( y' = \frac{4x^5 + 8x^4 + 8x^3 - 2x^4 - 4x^3 - 8x - 2x^4 - 4 - 8}{(x^2 + 2x + 2)^2} \)

\( y' = \frac{4x^5 + 4x^4 + 0x^3 - 12x - 12}{(x^2 + 2x + 2)^2} \)

Теперь приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

\( 4x^5 + 4x^4 - 12x - 12 = 0 \)

\( 4x^4(x + 1) - 12(x + 1) = 0 \)

\( (4x^4 - 12)(x + 1) = 0 \)

\( 4(x^4 - 3)(x + 1) = 0 \)

Решая уравнение \( x^4 - 3 = 0 \), получим \( x = \pm \sqrt[4]{3} \).

Теперь найдем значение функции в найденных критических точках и в точке \( x = 0 \), чтобы определить, где функция принимает минимальное значение.