Лучшие помощники
- Megamozg 2205 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1720 б
- arkasha_bortnikov 900 б
- Dwayne_Johnson 870 б
23 января 2025 08:46
164
- Окружность S, вписанная в равнобедренный треугольник АВС , касается боковых сторон АВ и ВС соответственно в точках К и L, и касается основания АС в точке М. Отрезок AL пересекает окружность S в точке N .
Докажите, что прямая KN проходит через середину отрезка АМ
1
ответ
Для начала обозначим середину отрезка AM как P.
Заметим, что по условию задачи треугольник ABC равнобедренный, следовательно, у него равны углы при вершинах A и C. Также, так как S - вписанная окружность, то углы при вершинах B и N равны.
Рассмотрим треугольники KNA и LNA. У них общий угол ANK, а также равны углы ANL и NAK, так как это углы касательных к окружности.
Из равенства углов следует, что треугольники KNA и LNA подобны. Значит, соответствующие стороны относятся как стороны треугольников. То есть, KN/AL = AN/NL.
Также, по теореме о касательных, отрезки AN и AM равны. Следовательно, AN = AM.
Подставим это в наше равенство: KN/AL = AM/NL.
Так как P - середина отрезка AM, то AM = 2*AP. Подставляем это: KN/AL = 2*AP/NL.
Теперь заметим, что треугольники APM и NPL подобны, так как у них равны углы PAM и PLN (они соответственные), а также углы при вершине P равны. Значит, соответствующие стороны относятся как стороны треугольников: AP/PL = AM/NL.
Подставляем это в наше равенство: KN/AL = 2*AP/NL = 2*(AP/PL) = 2.
Таким образом, KN = 2*PL. Но мы знаем, что P - середина отрезка AM, следовательно, PL = 0.5*AM. Подставляем: KN = 2*0.5*AM = AM.
Таким образом, прямая KN проходит через середину отрезка AM.
Заметим, что по условию задачи треугольник ABC равнобедренный, следовательно, у него равны углы при вершинах A и C. Также, так как S - вписанная окружность, то углы при вершинах B и N равны.
Рассмотрим треугольники KNA и LNA. У них общий угол ANK, а также равны углы ANL и NAK, так как это углы касательных к окружности.
Из равенства углов следует, что треугольники KNA и LNA подобны. Значит, соответствующие стороны относятся как стороны треугольников. То есть, KN/AL = AN/NL.
Также, по теореме о касательных, отрезки AN и AM равны. Следовательно, AN = AM.
Подставим это в наше равенство: KN/AL = AM/NL.
Так как P - середина отрезка AM, то AM = 2*AP. Подставляем это: KN/AL = 2*AP/NL.
Теперь заметим, что треугольники APM и NPL подобны, так как у них равны углы PAM и PLN (они соответственные), а также углы при вершине P равны. Значит, соответствующие стороны относятся как стороны треугольников: AP/PL = AM/NL.
Подставляем это в наше равенство: KN/AL = 2*AP/NL = 2*(AP/PL) = 2.
Таким образом, KN = 2*PL. Но мы знаем, что P - середина отрезка AM, следовательно, PL = 0.5*AM. Подставляем: KN = 2*0.5*AM = AM.
Таким образом, прямая KN проходит через середину отрезка AM.
0
·
Хороший ответ
23 января 2025 08:48
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Геометрия
В прямоугольном треугольнике ABK гипотенуза AB равна 17, катет AK равен 15. Найдите тангенс угла А ( 8 класс )...
Какое из следующих утвержедний верно ? 1- площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей 2-сумма углов прямоугольного треугольник...
Какая фигура называется углом? Объясните,что такое вершина и стороны угла....
Периметр треугольника равен 120, одна из его сторон равна 40, а радиус вписанной в него окружности равен 7. Найдите площадь этого треугольника. СРОЧНО...
Составить уравнение касательной к окружности x^2+y^2-4x-6y+8=0, проведенной в точке A(3;5) на ней. Ответ должен получится: x+2y-13=0....