В смеси энантиомеров R и S

 происходит обратимая реакция рацемизации: R⇄S. В начале реакции в смеси было 82% R, а через 1 ч – 77% R. Через какое время в смеси останется 51% R?

Для определения времени, когда в смеси останется 51% энантиомера R, воспользуемся кинетическим уравнением для реакции рацемизации. При обратимой реакции R ⇄ S и при равных скоростях прямого и обратного процессов в равновесии доля каждого энантиомера равна 50%.

Обозначим x(t) – долю R в момент времени t. Тогда при первом порядке (при равных константах для прямой и обратной реакций) уравнение имеет вид:

  dx/dt = k·(1 – 2x)  (1)

где k – константа реакции.

Равновесное состояние x_eq = 0.5. Решением уравнения (1) с начальным условием x(0) = x₀ является:

  x(t) = 0.5 + (x₀ – 0.5)·exp(–2k·t)

У нас x₀ = 82% = 0.82. Таким образом,

  x(t) = 0.5 + 0.32·exp(–2k·t)  (2)

Дано, что через 1 час x(1) = 77% = 0.77. Подставим в (2):

  0.77 = 0.5 + 0.32·exp(–2k·1)

Вычислим exp(–2k):

  exp(–2k) = (0.77 – 0.5)/0.32 = 0.27/0.32 = 0.84375

Найдём k:

  –2k = ln(0.84375)
  2k = –ln(0.84375)

Вычислим натуральный логарифм:
  ln(0.84375) ≈ –0.1699  (так как ln(27/32) = ln27 – ln32)
Отсюда:
  2k = 0.1699  ⇒  k ≈ 0.0850 ч⁻¹

Теперь найдём время t, когда x(t) = 51% = 0.51. Подставляем в (2):

  0.51 = 0.5 + 0.32·exp(–2k·t)

Вычислим:

  0.01 = 0.32·exp(–2k·t)
  exp(–2k·t) = 0.01/0.32 = 0.03125

Теперь применим логарифм:

  –2k·t = ln(0.03125)

Заметим, что 0.03125 = 1/32, откуда ln(0.03125) = –ln32.

Принимая ln32 ≈ 3.4657, получаем:

  2k·t = 3.4657  ⇒  t = 3.4657/(2k)

Подставляем найденное значение k:

  t ≈ 3.4657/(0.1699) ≈ 20.4 часов

Таким образом, через примерно 20.4 часа доля энантиомера R в смеси станет 51%.