Лучшие помощники

v.petrogradov

Геометрия

16 декабря 2022 11:48

552

Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

2 ответа

Посмотреть ответы

DevAdmin

1720

Ответ:

$S _ = 435$ ед².

Объяснение:

Обозначим данную трапецию буквами $ABCD$ .
$AH$ - высота трапеции $ABCD$ .
$AD = 25$ ед.
$DH = 20\\$ ед.
$HC = 23$ ед.
$BC = 17$ ед.
=======================================================
Проведём ещё одну высоту $BK$ к основанию $DC.$
=======================================================
$BK = AH$ , так как $AB || CD$ , по свойству трапеции.
Рассмотрим $\triangle DAH$ :
$\triangle DAH -$ прямоугольный, так как $AH$ - высота.
По теореме Пифагора найдём высоту $AH$ :
$AH^ = AD^ - DH^ = 25^ - 20^ = 225$ .
$AH = \sqrt = 15$ ед.
========================================================
Так как $AH = BK$ $\Rightarrow$ $BK = 15$ ед.
Рассмотрим $\triangle CBK$ :
$\triangle CBK -$ прямоугольный, так как $BK -$ высота.
По теореме Пифагора найдём $CK$ :
$CK^ = BC^ - BK^ = 17^ - 15^ = 64$ .
$CK = \sqrt = 8$ ед.
========================================================
Так как $AH = BK$ и $AH \perp CD$ , $BK \perp CD \Rightarrow$ $ABKH -$ прямоугольник.
Так как прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы прямые $\Rightarrow AB = KH = HC - KC = 23 - 8 = 15$ ед.
(Смотрим: так как $AB = BK = KH = AH \Rightarrow ABKH -$ квадрат)
=========================================================
$CD = DH + HC = 20 + 23 = 43$ ед.
$S _ = \frac (AB + CD) \cdot AH = \frac (15 + 43) \cdot15 = 435$ ед².

Хороший ответ

18 декабря 2022 11:48

DevAdmin

1720

Рассмотрим ΔАВН - прямоугольный (так как ∠ВНА = 90°).

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов равна квадрату гипотенузы (теорема Пифагора).

Следовательно -
$AB^ = AH^ + BH^ \\\\BH^ = AB^ - AH^\\\\BH = \sqrt - AH^} \\\\BH = \sqrt - 20^ } \\\\BH = \sqrt \\\\BH = \sqrt \\\\\boxed$
Из вершины C на основание АD опустим ещё одну высоту - высоту СМ.

Если у четырёхугольника все углы прямые, то этот четырёхугольник - прямоугольник.

Отсюда получившиеся четырёхугольник НВСМ - прямоугольник.

Противоположные стороны прямоугольника равны.

Следовательно -
ВН = СМ = 15
ВС = НМ.
Рассмотрим ΔCMD - прямоугольный (так как ∠CMD = 90°).
По теореме Пифагора -
$MD = \sqrt - CM^ } \\\\MD = \sqrt - 15^ } \\\\MD = \sqrt \\\\MD = \sqrt \\\\\boxed$
AD = AH + HD = 20 + 23 = 43
HD = HM + MD = 23
HM = HD - MD = 23 - 8 = 15.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты.

То есть -
$S(ABCD) = ( \frac )*BH \\\\ S(ABCD) = ( \frac )*15 \\\\ S(ABCD) = (\frac )*15 \\\\S(ABCD) = 29*15 \\\\ \boxed$
S(ABCD) = 435 (ед²).
Ответ :
435 (ед²).