В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 28, AC = 56, точка O - центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD

1 ответ

Посмотреть ответы

DevAdmin

1720

Если продлить AO до пересечения с окружностью в тоске C1, то
угол AC1B = угол ACB - это вписанные углы, опирающиеся на дугу AB.
Поскольку AC1 - диаметр, то угол ABC1 - прямой. Поэтому у углов ABD и AC1B стороны попарно перпендикулярны, то есть эти углы равны.
(Можно и так сказать. Треугольник AC1B - прямоугольный, а BD - высота в этом прямоугольном треугольнике, поэтому образует с катетом угол, равный острому углу треугольника AC1B. Высота в прямоугольном треугольнике делит его на два треугольника, ему же подобных, то есть - с такими же углами).
Получилось, что угол ABD = угол AC1B = угол ACB.
Треугольники ACB и ADB имеют общий угол CAB (он же - угол DAB), и пару равных углов (угол ABD = угол ACB) , то есть эти треугольники подобны.
Поэтому DA/AB = AB/AC; DA = AB^2/AC = 28^2/56 = 14; CD = AC - DA = 42;

То, что угол ABD = угол ACB, можно показать еще одним способом - если продлить BD до пересечения с окружностью в точке B1, то треугольник ABB1 будет равнобедренный. Действительно, AO перпендикулярен BB1, а точка O равноудалена от B и B1, поэтому все точки прямой AO равноудалены от концов отрезка BB1. Поэтому угол AB1B будет равным углу ABB1 (он же - угол ABD). Но угол AB1B опирается на ту же дугу, что и угол ACB.

Хороший ответ

17 января 2023 11:00

Остались вопросы?

Найти нужный

Еще вопросы по категории Геометрия

Решите задачу. Запишите подробное решение и ответ. В прямоугольном треугольнике периметр имеет длину 126 см. Разница между суммой длин катетов и гипот... Дан тетраэдр abcd, ad перпен. ac, ad перпенд. ab, dc перпенд. cb, bc=4, ac=3. Докажите, что ad перпенд. bc, bc перпендик.(adc) и найти площадь Abc... радиусы оснований усеченного конуса равны 10корней из 3см и 6 корней из 3 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 60 найдите высоту... Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.... Периметр равнобедренного треугольника равен 46 см , основание 20 см Чему равна его боковая сторона?...