Лучшие помощники
- Megamozg 2205 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1720 б
- arkasha_bortnikov 900 б
- Dwayne_Johnson 870 б
15 января 2023 11:00
921
В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 28, AC = 56, точка O - центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD
1
ответ
Если продлить AO до пересечения с окружностью в тоске C1, то
угол AC1B = угол ACB - это вписанные углы, опирающиеся на дугу AB.
Поскольку AC1 - диаметр, то угол ABC1 - прямой. Поэтому у углов ABD и AC1B стороны попарно перпендикулярны, то есть эти углы равны.
(Можно и так сказать. Треугольник AC1B - прямоугольный, а BD - высота в этом прямоугольном треугольнике, поэтому образует с катетом угол, равный острому углу треугольника AC1B. Высота в прямоугольном треугольнике делит его на два треугольника, ему же подобных, то есть - с такими же углами).
Получилось, что угол ABD = угол AC1B = угол ACB.
Треугольники ACB и ADB имеют общий угол CAB (он же - угол DAB), и пару равных углов (угол ABD = угол ACB) , то есть эти треугольники подобны.
Поэтому DA/AB = AB/AC; DA = AB^2/AC = 28^2/56 = 14; CD = AC - DA = 42;
То, что угол ABD = угол ACB, можно показать еще одним способом - если продлить BD до пересечения с окружностью в точке B1, то треугольник ABB1 будет равнобедренный. Действительно, AO перпендикулярен BB1, а точка O равноудалена от B и B1, поэтому все точки прямой AO равноудалены от концов отрезка BB1. Поэтому угол AB1B будет равным углу ABB1 (он же - угол ABD). Но угол AB1B опирается на ту же дугу, что и угол ACB.
угол AC1B = угол ACB - это вписанные углы, опирающиеся на дугу AB.
Поскольку AC1 - диаметр, то угол ABC1 - прямой. Поэтому у углов ABD и AC1B стороны попарно перпендикулярны, то есть эти углы равны.
(Можно и так сказать. Треугольник AC1B - прямоугольный, а BD - высота в этом прямоугольном треугольнике, поэтому образует с катетом угол, равный острому углу треугольника AC1B. Высота в прямоугольном треугольнике делит его на два треугольника, ему же подобных, то есть - с такими же углами).
Получилось, что угол ABD = угол AC1B = угол ACB.
Треугольники ACB и ADB имеют общий угол CAB (он же - угол DAB), и пару равных углов (угол ABD = угол ACB) , то есть эти треугольники подобны.
Поэтому DA/AB = AB/AC; DA = AB^2/AC = 28^2/56 = 14; CD = AC - DA = 42;
То, что угол ABD = угол ACB, можно показать еще одним способом - если продлить BD до пересечения с окружностью в точке B1, то треугольник ABB1 будет равнобедренный. Действительно, AO перпендикулярен BB1, а точка O равноудалена от B и B1, поэтому все точки прямой AO равноудалены от концов отрезка BB1. Поэтому угол AB1B будет равным углу ABB1 (он же - угол ABD). Но угол AB1B опирается на ту же дугу, что и угол ACB.
0
·
Хороший ответ
17 января 2023 11:00
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Геометрия
Высота BM проведенная из вершины угла ромба ABCD образует со стороной AB угол = 30 градусов.длина диагонали AC равна 6 см. Найдите AM , если точка М л...
В треугольнике ABC AB=BC=65 , AC=50 . Найдите длину медианы BM ....
Человек ростом 1,9 м стоит на расстоянии 12 м от столба,на котором висит фонарь на высоте 7,6 м.Найти длину тени человека в метрах...
Найдите площадь квадрата ,описанного вокруг окружности радиуса 7...
Пусть ABCD - выпуклый четырёхугольник, в котором ZDAC = 30°, ZBDC = 50°, ZCBD и ZBAС = 75°. Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке Р. Найдите...
Все предметы 
