В правильной четырехугольной призме  сторона основания равна 2 , а боковое ребро равно 4. Точка k – середина ребра . Найдите расстояние от точки  k до плоскости 

Для решения задачи воспользуемся формулой для расстояния от точки до плоскости:

$d = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{r_0} + d_0|}{|\vec{n}|}$,

где $\vec{n}$ - нормальный вектор к плоскости, $\vec{r_0}$ - координаты произвольной точки на плоскости, $d_0$ - расстояние от начала координат до плоскости.

Найдем координаты точки $k$. Так как $k$ - середина ребра $AA_1$, то координаты точки $k$ равны среднему арифметическому координат точек $A$ и $A_1$:

$k\left(\frac{x_A + x_{A_1}}{2}, \frac{y_A + y_{A_1}}{2}, \frac{z_A + z_{A_1}}{2}\right)$.

Найдем координаты точек $A$ и $A_1$. Так как $ABCD$ - правильная четырехугольная призма, то координаты вершин $A$, $B$, $C$, $D$ симметричны относительно начала координат:

$A\left(\pm 1, \pm 1, 0\right)$.

Так как $k$ - середина ребра $AA_1$, то координаты точки $A_1$ равны координатам точки $A$, но с противоположным знаком координаты $z$:

$A_1\left(\pm 1, \pm 1, 4\right)$.

Найдем нормальный вектор к плоскости $DA_1C_1$. Для этого найдем два вектора, лежащих в плоскости $DA_1C_1$:

$\vec{DA_1} = \left(\pm 1, \pm 1, 0\right) - \left(0, 0, 0\right) = \left(\pm 1, \pm 1, 0\right)$,

$\vec{DC_1} = \left(\pm 1, \mp 1, 0\right) - \left(0, 0, 2\right) = \left(\pm 1, \mp 1, -2\right)$.

Найдем векторное произведение этих векторов:

$\vec{n} = \vec{DA_1} \times \vec{DC_1} = \left|\begin{matrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
1 & 1 & 0 \\
1 & -1 & -2
\end{matrix}\right| = \left(2, 2, 2\right)$.

Найдем расстояние от начала координат до плоскости $DA_1C_1$. Для этого подставим координаты одной из вершин плоскости в уравнение плоскости $DA_1C_1$:

$D\left(0, 0, 0\right)$, $DA_1 = DC_1 = 2\sqrt{2}$,

$0x + 0y + 1z + 0 = 0$,

$z = 0$.

$d_0 = 0$.

Теперь можем подставить все значения в формулу для расстояния от точки $k$ до плоскости $DA_1C_1$:

$d = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{r_0} + d_0|}{|\vec{n}|} = \frac{|2 \cdot \frac{2 + 2}{2} + 0|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: расстояние от точки $k$ до плоскости $DA_1C_1$ равно $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.