Лучшие помощники
- Megamozg 2190 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1695 б
- arkasha_bortnikov 860 б
- Dwayne_Johnson 845 б
20 марта 2023 14:23
265
В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 2 , а боковое ребро равно 4. Точка k – середина ребра . Найдите расстояние от точки k до плоскости
1
ответ
Для решения задачи воспользуемся формулой для расстояния от точки до плоскости:
$d = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{r_0} + d_0|}{|\vec{n}|}$,
где $\vec{n}$ - нормальный вектор к плоскости, $\vec{r_0}$ - координаты произвольной точки на плоскости, $d_0$ - расстояние от начала координат до плоскости.
Найдем координаты точки $k$. Так как $k$ - середина ребра $AA_1$, то координаты точки $k$ равны среднему арифметическому координат точек $A$ и $A_1$:
$k\left(\frac{x_A + x_{A_1}}{2}, \frac{y_A + y_{A_1}}{2}, \frac{z_A + z_{A_1}}{2}\right)$.
Найдем координаты точек $A$ и $A_1$. Так как $ABCD$ - правильная четырехугольная призма, то координаты вершин $A$, $B$, $C$, $D$ симметричны относительно начала координат:
$A\left(\pm 1, \pm 1, 0\right)$.
Так как $k$ - середина ребра $AA_1$, то координаты точки $A_1$ равны координатам точки $A$, но с противоположным знаком координаты $z$:
$A_1\left(\pm 1, \pm 1, 4\right)$.
Найдем нормальный вектор к плоскости $DA_1C_1$. Для этого найдем два вектора, лежащих в плоскости $DA_1C_1$:
$\vec{DA_1} = \left(\pm 1, \pm 1, 0\right) - \left(0, 0, 0\right) = \left(\pm 1, \pm 1, 0\right)$,
$\vec{DC_1} = \left(\pm 1, \mp 1, 0\right) - \left(0, 0, 2\right) = \left(\pm 1, \mp 1, -2\right)$.
Найдем векторное произведение этих векторов:
$\vec{n} = \vec{DA_1} \times \vec{DC_1} = \left|\begin{matrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
1 & 1 & 0 \\
1 & -1 & -2
\end{matrix}\right| = \left(2, 2, 2\right)$.
Найдем расстояние от начала координат до плоскости $DA_1C_1$. Для этого подставим координаты одной из вершин плоскости в уравнение плоскости $DA_1C_1$:
$D\left(0, 0, 0\right)$, $DA_1 = DC_1 = 2\sqrt{2}$,
$0x + 0y + 1z + 0 = 0$,
$z = 0$.
$d_0 = 0$.
Теперь можем подставить все значения в формулу для расстояния от точки $k$ до плоскости $DA_1C_1$:
$d = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{r_0} + d_0|}{|\vec{n}|} = \frac{|2 \cdot \frac{2 + 2}{2} + 0|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: расстояние от точки $k$ до плоскости $DA_1C_1$ равно $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
$d = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{r_0} + d_0|}{|\vec{n}|}$,
где $\vec{n}$ - нормальный вектор к плоскости, $\vec{r_0}$ - координаты произвольной точки на плоскости, $d_0$ - расстояние от начала координат до плоскости.
Найдем координаты точки $k$. Так как $k$ - середина ребра $AA_1$, то координаты точки $k$ равны среднему арифметическому координат точек $A$ и $A_1$:
$k\left(\frac{x_A + x_{A_1}}{2}, \frac{y_A + y_{A_1}}{2}, \frac{z_A + z_{A_1}}{2}\right)$.
Найдем координаты точек $A$ и $A_1$. Так как $ABCD$ - правильная четырехугольная призма, то координаты вершин $A$, $B$, $C$, $D$ симметричны относительно начала координат:
$A\left(\pm 1, \pm 1, 0\right)$.
Так как $k$ - середина ребра $AA_1$, то координаты точки $A_1$ равны координатам точки $A$, но с противоположным знаком координаты $z$:
$A_1\left(\pm 1, \pm 1, 4\right)$.
Найдем нормальный вектор к плоскости $DA_1C_1$. Для этого найдем два вектора, лежащих в плоскости $DA_1C_1$:
$\vec{DA_1} = \left(\pm 1, \pm 1, 0\right) - \left(0, 0, 0\right) = \left(\pm 1, \pm 1, 0\right)$,
$\vec{DC_1} = \left(\pm 1, \mp 1, 0\right) - \left(0, 0, 2\right) = \left(\pm 1, \mp 1, -2\right)$.
Найдем векторное произведение этих векторов:
$\vec{n} = \vec{DA_1} \times \vec{DC_1} = \left|\begin{matrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
1 & 1 & 0 \\
1 & -1 & -2
\end{matrix}\right| = \left(2, 2, 2\right)$.
Найдем расстояние от начала координат до плоскости $DA_1C_1$. Для этого подставим координаты одной из вершин плоскости в уравнение плоскости $DA_1C_1$:
$D\left(0, 0, 0\right)$, $DA_1 = DC_1 = 2\sqrt{2}$,
$0x + 0y + 1z + 0 = 0$,
$z = 0$.
$d_0 = 0$.
Теперь можем подставить все значения в формулу для расстояния от точки $k$ до плоскости $DA_1C_1$:
$d = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{r_0} + d_0|}{|\vec{n}|} = \frac{|2 \cdot \frac{2 + 2}{2} + 0|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: расстояние от точки $k$ до плоскости $DA_1C_1$ равно $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
0
·
Хороший ответ
20 марта 2023 14:30
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Геометрия
У прямоугольника 2 оси симметрии и это его диагонали или это серединные перпендикуляры его сторон...
Длина диагонали квадрата равна 14 см. Вычисли периметр такого квадрата, вершины которого находятся в серединах сторон данного квадрата....
Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через ребро BC и точку L-середину ребра A1B1. Найдите периметр по...
1. Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равен 32 м. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность. 2. Найдите п...
Верно ли утверждение, что прямая, лежащая в одной из параллельных плоскостей, параллельна другой плоскости?(обоснуйте ответ)...
Все предметы