Через середину ребра AD правильной пирамиды MABCD проведено сечение плоскость,параллельной грани DMC. Вычислите площадь сечения,если апофема пирамиды равна 6 корней из 2 дм и наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов.

Поскольку пирамида MABCD является правильной, то ее грани являются равносторонними треугольниками. Таким образом, мы можем использовать формулу для площади равностороннего треугольника:

$S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, где $a$ - длина стороны треугольника.

Также нам дано, что апофема пирамиды равна $6\sqrt{2}$ дм. Апофема - это расстояние от центра основания до вершины пирамиды, которое можно выразить через радиус вписанной сферы $r$ и высоту пирамиды $h$: $a = 2r$, $h^2 = a^2 - 4r^2$.

Таким образом, мы можем выразить длину стороны основания пирамиды:

$a = 2r = 12\sqrt{2}$ дм.

Теперь мы можем вычислить площадь сечения. Поскольку плоскость параллельна грани DMC, то она также параллельна основанию треугольника ABC. Таким образом, сечение является равносторонним треугольником со стороной, равной стороне треугольника ABC.

$S_{\text{сечения}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(12\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = 216$ кв. дм.