Ребро PA тетраэдра PABC перпендикулярно грани ABC. Найдите угол между гранями PBC и ABC, если известно, что расстояние от точки P до плоскости ABC равно 7√2 дм, а расстояние от точки P до прямой BC равно 14 дм.

Выполните необходимые вычисления, ответ обоснуйте.

Обозначим через $H$ проекцию точки $P$ на грань $ABC$. Тогда, так как $PA$ перпендикулярно грани $ABC$, имеем $PA\perp AH$. Из условия задачи следует, что $PH=7\sqrt{2}$ и $PD=14$, где $D$ - проекция точки $P$ на прямую $BC$. Треугольник $PHD$ - прямоугольный, поэтому применяя теорему Пифагора, находим $HD=7$. Заметим, что $HD$ - это высота тетраэдра $PABC$, опущенная на грань $ABC$. Так как $BD$ и $HC$ лежат в плоскости грани $ABC$, то $BD\parallel HC$, откуда $\angle BCD=\angle HCB$. Также, $\angle HCD=90^\circ-\angle BCD$, так как $HD\perp BC$. Тогда $\angle HCB=\angle HCD=90^\circ-\angle BCD$. Из прямоугольного треугольника $HCD$ следует, что $\cos\angle BCD=\frac{HD}{CD}=\frac{7}{\sqrt{14^2-7^2}}=\frac{7}{\sqrt{147}}$. Тогда $\sin\angle BCD=\sqrt{1-\cos^2\angle BCD}=\frac{4\sqrt{7}}{\sqrt{147}}$. Наконец, $\angle PBC=\angle BCD$, так как прямая $BC$ и плоскость $PBC$ пересекаются по прямой $BC$. Итак, $\angle PBC=\angle BCD=\arcsin\frac{4\sqrt{7}}{\sqrt{147}}\approx 43.4^\circ$.