Радиусы оснований усечённого конуса относится как 2 : 5, а площадь полной поверхности равна 213π. Найдите высоту усечённого конуса, если образующая образует с плоскостью нижнего основания угол 60∘.

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для площади поверхности усеченного конуса:

S = π(R1 + R2 + l),

где S - площадь поверхности усеченного конуса, R1 и R2 - радиусы оснований, l - образующая конуса.

Мы знаем, что R1 : R2 = 2 : 5. Пусть R1 = 2x, тогда R2 = 5x.

Также дано, что площадь поверхности равна 213π. Подставим известные данные в формулу:

213π = π(2x + 5x + l),
213 = 7x + l.

Также нам дано, что угол между образующей и плоскостью нижнего основания равен 60°. Из геометрических соображений мы можем записать:

cos(60°) = l / √(R1^2 + h^2),
1/2 = l / √(4x^2 + h^2),
√(4x^2 + h^2) = 2l.

Теперь у нас есть система уравнений:

213 = 7x + l,
√(4x^2 + h^2) = 2l.

Решим ее методом подстановок или методом исключения, чтобы найти значения x и h.