сумма седьмого и двенадцатого членов арифметической прогрессии меньше суммы ее шестого и одиннадцатого членов на 8.найдите разность прогрессии

Для арифметической прогрессии с общим разностью \( d \) и первым членом \( a_1 \) сумма первых \( n \) членов равна:

\[ S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) \]

По условию задачи, сумма седьмого и двенадцатого членов меньше суммы шестого и одиннадцатого на 8:

\[ \frac{7}{2} \left(2a_1 + 6d\right) + \frac{12}{2} \left(2a_1 + 11d\right) < \frac{6}{2} \left(2a_1 + 5d\right) + \frac{11}{2} \left(2a_1 + 10d\right) - 8 \]

Упростим это неравенство:

\[ 7(2a_1 + 6d) + 12(2a_1 + 11d) < 6(2a_1 + 5d) + 11(2a_1 + 10d) - 16 \]

\[ 14a_1 + 42d + 24a_1 + 132d < 12a_1 + 30d + 22a_1 + 110d - 16 \]

\[ 38a_1 + 174d < 34a_1 + 140d - 16 \]

\[ 4a_1 + 34d < -16 \]

Так как разность прогрессии равна разности любых двух последовательных членов, то \( d = a_{n+1} - a_n \). Подставим это в неравенство:

\[ 4a_1 + 34(a_1 + d) < -16 \]

\[ 4a_1 + 34a_1 + 34d < -16 \]

\[ 38a_1 + 34d < -16 \]

Таким образом, разность прогрессии равна 34.