Как разрезать двумя разрезами пятиугольник на два треугольника и на два пятиугольника

Ниже приведён один из вариантов ответа – геометрическая схема, показывающая, как из одного выпуклого пятиугольника (обозначим его вершинами A, B, C, D, E по порядку) при помощи двух прямолинейных разрезов можно получить (1) две части, являющиеся треугольниками, и (2) два многоугольника, каждый из которых – пятиугольник. (Следует заметить, что обычно одну и ту же исходную фигуру можно разрезать по-разному, а задача в том числе – найти «хитрый» способ такого разрезания.)

Важно сразу понять, что если сделать два независимых разреза, чаще всего получится три отдельные части. Поэтому схему нужно организовать так, чтобы два разреза имели общую точку – внутреннюю точку, через которую проходят оба разреза. Тогда касаясь сторон исходного пятиугольника, приведённые линии разбиения, правильно «захватывая» участки границы, позволят при перекладывании (или доклеивании) объединить некоторые полученные элементы в две фигуры требуемой формы.

Ниже описаны два варианта («рецепта») разрезания – один для двух треугольников, другой – для двух пятиугольников. (Заметим, что часто такие задачи предлагаются как «физические головоломки» с вырезанным из бумаги пятиугольником.)

──────────────────────────────
Вариант 1. Разрезание пятиугольника на два треугольника

Пусть у нас есть выпуклый пятиугольник с вершинами A, B, C, D, E (по порядку). Для получения разбиения, позволяющего сложить два треугольника, можно действовать так:

1. Найдите внутреннюю точку O так, чтобы через неё можно провести два разреза, начинающихся из непоследовательных вершин. Например, выберите O так, чтобы оно лежало на диагонали, соединяющей вершины B и D.

2. Проведите первый разрез – прямую линию BD (то есть соедините вершину B с вершиной D). Этот разрез делит пятиугольник на два многоугольника: один треугольник (BCD) и четырехугольник (ABDE).

3. Теперь проведите второй разрез так, чтобы он тоже проходил через точку O (точку пересечения с BD) и одновременно «отсекал» часть четырехугольника, превращая её в треугольник. Например, выберите на стороне AD точку X и проведите прямую через X и O до пересечения со стороной AB или BE (так, чтобы получившаяся часть имела ровно три стороны). Тогда четырёхугольник ABDE делится на два элемента, один из которых является треугольником.

4. Перекладывая полученные куски (иногда их можно «склеивать» вдоль вырезанных граней) можно объединить части так, чтобы получилось ровно два треугольника.

При таком подходе исходный пятиугольник разрезается лишь двумя разрезами, а удачный выбор точек (вершин и точек на сторонах) обеспечивает наличие ровно двух частей, имеющих треугольную форму.

──────────────────────────────
Вариант 2. Разрезание пятиугольника на два пятиугольника

Здесь задача состоит в том, чтобы два полученных элемента обладали пятью сторонами. Один из вариантов построения выглядит так:

1. Обозначим исходный выпуклый пятиугольник с вершинами A, B, C, D, E.

2. Выберите точку X на стороне BC и точку Y на стороне DE так, чтобы они удовлетворяли условию симметрии (при необходимости – равенство некоторых отрезков). Например, можно потребовать, чтобы отрезки AX и AY были равны.

3. Проведите два разреза, каждый из которых начинается в вершине A. Первый разрез проведите из A в точку X, второй – из A в точку Y.

4. Разрезы, проходящие через A и встречающиеся с различными сторонами, «разъедают» исходный пятиугольник на два многоугольных элемента. При грамотном выборе точек X и Y оказывается, что:
 – один кусок имеет границу, состоящую из части исходного контура от X через C, D, E к Y плюс отрезки AY и YX, то есть в сумме 5 сторон;
 – второй кусок состоит из оставшейся дуги (от Y через A и B до X) плюс отрезки XA и AY, и тоже имеет 5 сторон.

Таким образом, получаем два пятиугольника.

──────────────────────────────
Замечания и рекомендации

• Оба описанных метода требуют точного построения. В классических пособиях по геометрическим разрезаниям (иногда описываемых как «инвариантные разрезы») часто приводят схемы с использованием аккуратно подобранных точек на сторонах исходного многоугольника.

• Часто конечное задание представлено как головоломка – «Возьмите пятиугольник из картона и двумя разрезами получите…». При сборке модели с вырезанием бумаги имеет значение то, как полученные частей можно перекладывать друг на друга, совмещая вырезанные границы.

• Можно варьировать положения точек O, X, Y (или аналогичных опорных точек) так, чтобы фигуры получались не только по числу сторон, но и по площади (например, равновеликими).

──────────────────────────────
Вывод

Ответ на вопрос будет таким: для получения двух треугольников из пятиугольника достаточно провести один разрез как диагональ (например, BD), а затем второй разрез, проходящий через точку пересечения диагоналей (O) и «отсекающий» от оставшейся части треугольник (например, проведя прямую через точку O и выбранную точку на стороне AD). Аналогичным способом, если взять точки X и Y на фиксированных сторонах (например, X на BC и Y на DE) и провести разрезы от вершины A через эти точки, можно разрезать пятиугольник на два пятиугольника.

Поскольку подобных решений несколько, приведённый выше – один из вариантов, иллюстрирующий основные идеи: использовать общую точку разрезов и грамотное распределение частей исходной границы, чтобы итоговые фигуры имели нужное число сторон (3 для треугольника, 5 для пятиугольника).

Надеюсь, этот ответ поможет понять, как можно организовать разрезание пятиугольника двумя разрезами для получения требуемых фигур. Если нужны наброски или дополнительные пояснения – смело спрашивайте!